Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias devido ao limite de integração infinito.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a integral tem um limite de integração que vai até
. Isso caracteriza uma integral imprópria porque estamos lidando com um intervalo infinito. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge para um número finito ou se ela diverge para infinito.
Passo 3
Vamos reescrever a integral de forma mais conveniente para avaliar o limite:
Isso nos ajuda a lidar com o limite infinito de forma mais clara.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral indefinida
. Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Deixe
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Integrando
, temos:
Voltando para a variável original
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, avaliamos o limite quando
tende a
:
Então, a expressão fica:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.