Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
d) integral-infty^1 1(2 x-3)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para determinar se a integral é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias devido ao limite de integração infinito.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a integral tem um limite de integração que vai até . Isso caracteriza uma integral imprópria porque estamos lidando com um intervalo infinito. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge para um número finito ou se ela diverge para infinito.

Passo 3

Vamos reescrever a integral de forma mais conveniente para avaliar o limite:
integral-infty^1 1(2x - 3)^2 dx = lima to -infty integrala^1 1(2x - 3)^2 dx
Isso nos ajuda a lidar com o limite infinito de forma mais clara.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral indefinida integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 du . Para isso, podemos usar uma substituição simples:
Deixe , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Integrando 12 cdot ( u^-1-1 ) + C = -12u + C , temos:
-12(2x - 3) + C
Voltando para a variável original :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de lima to -infty [ -12(2x - 3) ]a^1 = lima to -infty ( -12(2 cdot 1 - 3) - ( -12(2a - 3) ) ) a = lima to -infty ( -12(-1) + 12(2a - 3) ) = lima to -infty ( 12 + 12(2a - 3) ) :
Simplificando os termos:

Passo 7

Agora, avaliamos o limite quando 12(2a - 3) to 0 quando a to -infty tende a 12 + 0 = 12 :
Então, a expressão fica:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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