Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil para calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando a região é mais fácil de ser descrita em relação a um eixo perpendicular ao eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região. A curva
é uma parábola que abre para cima, e a linha
é uma reta horizontal. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, a região que vamos rotacionar está entre
e
, e de
até
.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas envolve visualizar o sólido como sendo composto por várias “casas” cilíndricas fininhas. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura infinitesimal. Para rotacionar em torno do eixo
, vamos integrar em relação a
.
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Onde:
- Raio é a distância do eixo de rotação até a casca, que neste caso é
. - Altura é a extensão da casca ao longo do eixo
, que é a largura da região para cada valor de .
Passo 4
Vamos identificar o raio e a altura para nossa situação:
-
Raio: Como estamos rotacionando em torno do eixo
, a distância do eixo até a casca é simplesmente . -
Altura: Para cada valor de
, a largura da região é dada pelas soluções de da equação . Resolvendo para :
Então, a largura é:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Portanto,
Sabendo que
, temos:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.