Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y=x^2, y=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil para calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando a região é mais fácil de ser descrita em relação a um eixo perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites da nossa região. A curva é uma parábola que abre para cima, e a linha é uma reta horizontal. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Então, a região que vamos rotacionar está entre e , e de até .

Passo 3

O método das cascas cilíndricas envolve visualizar o sólido como sendo composto por várias “casas” cilíndricas fininhas. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura infinitesimal. Para rotacionar em torno do eixo , vamos integrar em relação a .
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Onde:
  • Raio é a distância do eixo de rotação até a casca, que neste caso é .
  • Altura é a extensão da casca ao longo do eixo , que é a largura da região para cada valor de .

Passo 4

Vamos identificar o raio e a altura para nossa situação:
  • Raio: Como estamos rotacionando em torno do eixo , a distância do eixo até a casca é simplesmente .
  • Altura: Para cada valor de , a largura da região é dada pelas soluções de da equação . Resolvendo para :
Então, a largura é:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Portanto,
Sabendo que , temos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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