E ncontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
a) y = -1/x', y = 0, x = 1, x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume do sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam a região. A função é uma hipérbole que está abaixo do eixo porque tem um sinal negativo. A reta é o próprio eixo . As linhas verticais e definem os limites laterais da região.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , o método dos discos é ideal. Esse método consiste em dividir a região em pequenos discos perpendiculares ao eixo de rotação e somar seus volumes.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, é a função que define a fronteira da região (no nosso caso, ), e e são os limites de integra��ão (1 e 3).

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Como o quadrado de é , a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 3:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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