E ncontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume do sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as curvas que delimitam a região. A função
é uma hipérbole que está abaixo do eixo
porque tem um sinal negativo. A reta
é o próprio eixo
. As linhas verticais
e
definem os limites laterais da região.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, o método dos discos é ideal. Esse método consiste em dividir a região em pequenos discos perpendiculares ao eixo de rotação e somar seus volumes.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
é a função que define a fronteira da região (no nosso caso,
), e
e
são os limites de integra��ão (1 e 3).
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Como o quadrado de
é
, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 3:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.