Nos Exercícios de l a 12, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; © determine os intervalos nos quais
é crescente; (d) determine os intervalos nos quais fé decrescente; (e) faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa:
a) Encontrar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira;
b) Descobrir os valores de
onde esses extremos acontecem;
c) Identificar os intervalos onde
está crescendo;
d) Identificar os intervalos onde
está decrescendo;
e) Fazer um esboço do gráfico da função.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A função é
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os extremos relativos, vamos encontrar onde a derivada primeira é igual a zero, ou seja, resolver
.
Então, temos:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Esses valores de
são candidatos a extremos relativos. Para confirmar se são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da derivada primeira.
Vamos analisar o sinal da derivada
antes e depois de cada ponto crítico.
Para
:
- Escolha um
menor que 0, por exemplo, :
- Escolha um
entre 0 e 3, por exemplo, :
Como a derivada muda de positiva para negativa,
é um ponto de máximo relativo.
Para
:
- Escolha um
entre 0 e 3, por exemplo, :
- Escolha um
maior que 3, por exemplo, :
Aqui, a derivada muda de negativa para positiva, indicando que
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Crescente: onde
- Decrescente: onde
Analisando a derivada
:
- Para
: → está crescente. - Entre
: → está decrescente. - Para
: → está crescente.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
:
-
Pontos críticos:
- Máximo relativo em
, . - Mínimo relativo em
, .
- Máximo relativo em
-
Comportamento:
- Cresce para
. - Decresce entre
. - Cresce novamente para
.
- Cresce para
Esse esboço nos ajuda a visualizar como a função se comporta no gráfico, com um pico em
e um vale em
.
Resposta
a) Extremos relativos: Máximo em
e mínimo em
.
b) Valores onde ocorrem os extremos:
e
.
c) Intervalos onde
é crescente:
e
.
d) Intervalo onde
é decrescente:
.
e) Esboço do gráfico conforme descrito no Passo 6.