Nos Exercícios de l a 12, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; © determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais fé decrescente; (e) faça um esboço do gráfico.
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa:
a) Encontrar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira;
b) Descobrir os valores de onde esses extremos acontecem;
c) Identificar os intervalos onde está crescendo;
d) Identificar os intervalos onde está decrescendo;
e) Fazer um esboço do gráfico da função.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A função é .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os extremos relativos, vamos encontrar onde a derivada primeira é igual a zero, ou seja, resolver .
Então, temos:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Esses valores de são candidatos a extremos relativos. Para confirmar se são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da derivada primeira.
Vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Para :
  • Escolha um menor que 0, por exemplo, :
  • Escolha um entre 0 e 3, por exemplo, :
Como a derivada muda de positiva para negativa, é um ponto de máximo relativo.
Para :
  • Escolha um entre 0 e 3, por exemplo, :
  • Escolha um maior que 3, por exemplo, :
Aqui, a derivada muda de negativa para positiva, indicando que é um ponto de mínimo relativo.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Crescente: onde
  • Decrescente: onde
Analisando a derivada :
  • Para : está crescente.
  • Entre : está decrescente.
  • Para : está crescente.

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função :
  • Pontos críticos:
    • Máximo relativo em , .
    • Mínimo relativo em , .
  • Comportamento:
    • Cresce para .
    • Decresce entre .
    • Cresce novamente para .
Esse esboço nos ajuda a visualizar como a função se comporta no gráfico, com um pico em e um vale em .

Resposta

a) Extremos relativos: Máximo em e mínimo em .
b) Valores onde ocorrem os extremos: e .
c) Intervalos onde é crescente: e .
d) Intervalo onde é decrescente: .
e) Esboço do gráfico conforme descrito no Passo 6.

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