Nos Exercícios de l a 12, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; © determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais fé decrescente; (e) faça um esboço do gráfico.
f(x) = x^3 - x^2 - x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . O que precisamos fazer aqui é encontrar os extremos relativos usando o teste da primeira derivada, identificar onde esses extremos ocorrem, determinar onde a função está crescendo ou decrescendo e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo , então vamos resolver:

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos e , vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 6

Escolhemos valores de em torno dos pontos críticos para ver o comportamento da derivada:
  • Para , por exemplo :
    (positivo)
  • Para , por exemplo :
    (negativo)
  • Para , por exemplo :
    (positivo)

Passo 7

Interpretando os sinais da derivada:
  • Antes de , : a função está crescendo.
  • Entre e , : a função está decrescendo.
  • Depois de , : a função está crescendo novamente.
Então, em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de máximo relativo. Em , muda de decrescente para crescente, indicando um ponto de mínimo relativo.

Passo 8

Vamos agora encontrar os valores de nesses pontos críticos:
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Resumindo os resultados:
  • Extremo relativo máximo em com .
  • Extremo relativo mínimo em com .
  • A função está crescente nos intervalos e .
  • A função está decrescente no intervalo .

Resposta

  • Extremos relativos:
    • Máximo relativo em com valor .
    • Mínimo relativo em com valor .
  • Intervalos de crescimento:
    • e .
  • Intervalo de decrescimento:
    • .
  • Esboço do gráfico:
    • A curva passa pelo ponto de máximo em , desce até o mínimo em e então sobe novamente.

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