Nos Exercícios de l a 12, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; © determine os intervalos nos quais
é crescente; (d) determine os intervalos nos quais fé decrescente; (e) faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. O que precisamos fazer aqui é encontrar os extremos relativos usando o teste da primeira derivada, identificar onde esses extremos ocorrem, determinar onde a função está crescendo ou decrescendo e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo
, então vamos resolver:
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 6
Escolhemos valores de
em torno dos pontos críticos para ver o comportamento da derivada:
-
Para
, por exemplo : (positivo) -
Para
, por exemplo : (negativo) -
Para
, por exemplo : (positivo)
Passo 7
Interpretando os sinais da derivada:
- Antes de
, : a função está crescendo. - Entre
e , : a função está decrescendo. - Depois de
, : a função está crescendo novamente.
Então, em
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de máximo relativo. Em
, muda de decrescente para crescente, indicando um ponto de mínimo relativo.
Passo 8
Vamos agora encontrar os valores de
nesses pontos críticos:
-
Para
: -
Para
:
Passo 9
Resumindo os resultados:
- Extremo relativo máximo em
com . - Extremo relativo mínimo em
com . - A função está crescente nos intervalos
e . - A função está decrescente no intervalo
.
Resposta
- Extremos relativos:
- Máximo relativo em
com valor . - Mínimo relativo em
com valor .
- Máximo relativo em
- Intervalos de crescimento:
-
e .
-
- Intervalo de decrescimento:
-
.
-
- Esboço do gráfico:
- A curva passa pelo ponto de máximo em
, desce até o mínimo em e então sobe novamente.
- A curva passa pelo ponto de máximo em