Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral . O assunto aqui é integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que não são contínuas no intervalo. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se der, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função que estamos integrando: . Olhando para os limites de integração, vemos que estamos indo de até . Para saber se a integral converge, precisamos verificar o que acontece com essa função quando tende a .

Passo 3

Vamos analisar o limite da função quando tende a :
Dividindo o numerador e o denominador por , temos:
Isso indica que a função tende a zero quando vai para , o que é um bom sinal para a convergência da integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, percebemos que o denominador pode ser fatorado utilizando números complexos, mas para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão.
Vamos fazer . Então, , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, temos a integral:
Sabemos que a integral de é . Aqui, então . Aplicando a fórmula:
Voltando para , já que :

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites da integral definida de a :
Primeiro, avaliando em :
Agora, avaliando em :

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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