Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral-infty^0 zz^4+4 d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral integral-infty^0 zz^4+4 , dz. O assunto aqui é integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que não são contínuas no intervalo. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se der, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função que estamos integrando: zz^4+4. Olhando para os limites de integração, vemos que estamos indo de -infty até 0. Para saber se a integral converge, precisamos verificar o que acontece com essa função quando z tende a -infty.

Passo 3

Vamos analisar o limite da função quando z tende a -infty:
limz to -infty zz^4+4
Dividindo o numerador e o denominador por z^4, temos:
limz to -infty 1z^31 + 4z^4 = 0
Isso indica que a função tende a zero quando z vai para -infty, o que é um bom sinal para a convergência da integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, percebemos que o denominador z^4 + 4 pode ser fatorado utilizando números complexos, mas para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão.
Vamos fazer u = z^2. Então, du = 2z , dz, ou seja, z , dz = du2. Substituindo na integral:
integral zz^4+4 , dz = integral 12(u^2+4) , du

Passo 5

Agora, temos a integral:
12 integral 1u^2+4 , du
Sabemos que a integral de 1u^2 + a^2 é 1a tan^-1(ua) + C. Aqui, a^2 = 4 então a = 2. Aplicando a fórmula:
12 cdot 12 tan^-1(u2) + C = 14 tan^-1(u2) + C
Voltando para z, já que u = z^2:
14 tan^-1(z^22) + C

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites da integral definida de -infty a 0:
[ 14 tan^-1(z^22) ]-infty^0
Primeiro, avaliando em 0:
14 tan^-1(02) = 14 cdot 0 = 0
Agora, avaliando em -infty:
14 tan^-1((-infty)^22) = 14 tan^-1(infty) = 14 cdot pi2 = pi8

Resposta

A integral é convergente e seu valor é pi8.

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