Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a integral
. O assunto aqui é integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com funções que não são contínuas no intervalo. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se der, calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função que estamos integrando:
. Olhando para os limites de integração, vemos que estamos indo de
até
. Para saber se a integral converge, precisamos verificar o que acontece com essa função quando
tende a
.
Passo 3
Vamos analisar o limite da função quando
tende a
:
Dividindo o numerador e o denominador por
, temos:
Isso indica que a função tende a zero quando
vai para
, o que é um bom sinal para a convergência da integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral. Primeiro, percebemos que o denominador
pode ser fatorado utilizando números complexos, mas para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão.
Vamos fazer
. Então,
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, temos a integral:
Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
então
. Aplicando a fórmula:
Voltando para
, já que
:
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites da integral definida de
a
:
Primeiro, avaliando em
:
Agora, avaliando em
:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.
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