Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Ela é imprópria porque o limite superior de integração é o infinito ( ). Para analisar a convergência, precisamos ver se o valor da integral se aproxima de um número finito quando o limite vai ao infinito.

Passo 3

Para resolver essa integral, é útil fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos usar a substituição . Assim, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferencial em termos de :

Passo 5

Substituindo e na integral original:

Passo 6

A integral é conhecida e está relacionada à função gama ( ), onde:
Para :

Passo 7

Portanto, voltando à nossa integral:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 2.

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