Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty e^-raizy d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Ela é imprópria porque o limite superior de integração é o infinito ( ). Para analisar a convergência, precisamos ver se o valor da integral se aproxima de um número finito quando o limite vai ao infinito.

Passo 3

Para resolver essa integral, é útil fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos usar a substituição y = u^2 . Assim, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferencial dy = 2u , du em termos de :

Passo 5

Substituindo integral0^infty e^-raizy , dy = integral0^infty e^-u cdot 2u , du = 2 integral0^infty u e^-u , du e na integral original:

Passo 6

A integral Gamma(n) = integral0^infty x^n-1 e^-x , dx é conhecida e está relacionada à função gama ( Gamma(2) = integral0^infty x^1 e^-x , dx = 1! = 1 ), onde:
Para :

Passo 7

Portanto, voltando à nossa integral:
2 integral0^infty u e^-u , du = 2 times Gamma(2) = 2 times 1 = 2

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 2.

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