Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a integral
converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e substituição para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é chamada de imprópria. Ela é imprópria porque o limite superior de integração é o infinito (
). Para analisar a convergência, precisamos ver se o valor da integral se aproxima de um número finito quando o limite vai ao infinito.
Passo 3
Para resolver essa integral, é útil fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos usar a substituição
. Assim, podemos reescrever
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferencial
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
A integral
é conhecida e está relacionada à função gama (
), onde:
Para
:
Passo 7
Portanto, voltando à nossa integral:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é 2.