Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a integral
usando o Teorema da Comparação. Esse teorema nos ajuda a determinar se uma integral é convergente ou divergente comparando-a com outra integral que já conhecemos o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta quando
tende a infinito. Sabemos que:
-
se aproxima de quando cresce sem limite. -
cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial.
Então, para
grande, a função
se comporta aproximadamente como
, já que
se torna insignificante comparado a
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma função comparadora simples:
. A integral dessa função é:
Essa integral é convergente.
Passo 4
Como para todo
, temos:
E já que a integral da função comparadora
é convergente, pelo Teorema da Comparação, a integral original
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.
Exercícios relacionados
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função
.
(d)
(d)
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.