Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral0^infty arctan x2+e^x d x

Passo 1

Vamos analisar a integral usando o Teorema da Comparação. Esse teorema nos ajuda a determinar se uma integral é convergente ou divergente comparando-a com outra integral que já conhecemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta quando tende a infinito. Sabemos que:
  • se aproxima de quando cresce sem limite.
  • cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial.
Então, para grande, a função se comporta aproximadamente como , já que se torna insignificante comparado a .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma função comparadora simples: integral0^infty pi2 e^-x , dx = pi2 integral0^infty e^-x , dx = pi2 [-e^-x]0^infty = pi2 (0 - (-1)) = pi2 . A integral dessa função é:
Essa integral é convergente.

Passo 4

Como para todo arctan x2+e^x <= pi2 e^-x , temos:
E já que a integral da função comparadora é convergente, pelo Teorema da Comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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