Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos analisar a integral usando o Teorema da Comparação. Esse teorema nos ajuda a determinar se uma integral é convergente ou divergente comparando-a com outra integral que já conhecemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta quando tende a infinito. Sabemos que:
  • se aproxima de quando cresce sem limite.
  • cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial.
Então, para grande, a função se comporta aproximadamente como , já que se torna insignificante comparado a .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma função comparadora simples: . A integral dessa função é:
Essa integral é convergente.

Passo 4

Como para todo , temos:
E já que a integral da função comparadora é convergente, pelo Teorema da Comparação, a integral original também converge.

Resposta

A integral é convergente.

Exercícios relacionados

Em cada caso, calcule a derivada indicada da função .
(d)
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.