Uma pessoa em um bote de remo a 2 km da margem (beira) de um rio reto, deseja chegar a uma casa na beira do rio localizada a 6 km do ponto mais próximo na beira do rio ao bote. Se a pessoa pode remar a uma velocidade de e caminhar a uma velocidade de , determine o tempo mínimo que precisa a pessoa para chegar à casa.

Passo 1

Então, temos uma pessoa que está em um bote a 2 km da margem de um rio reto. Ela quer chegar a uma casa que fica na margem, a 6 km do ponto mais próximo do bote na beira do rio. A pessoa pode remar a uma velocidade de e caminhar a uma velocidade de . Nosso objetivo é descobrir quanto tempo ela precisa no mínimo para chegar à casa. Vamos usar conceitos de otimização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como uma linha reta. O bote está a 2 km de distância desta linha (margem do rio). A casa está localizada na margem, a 6 km de distância do ponto mais próximo ao bote.

Passo 3

Vamos chamar o ponto mais próximo do bote na margem de e a localização da casa de . Queremos encontrar o ponto na margem onde a pessoa deve desembarcar para minimizar o tempo total de viagem.

Passo 4

A distância que a pessoa vai remar será a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um cateto é de 2 km (distância do bote à margem) e o outro cateto é a distância ao longo da margem até o ponto . Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
â

Passo 5

O tempo para remar essa distância é a distância dividida pela velocidade de remo:

Passo 6

Após desembarcar no ponto , a pessoa precisará caminhar até a casa . A distância a caminhar é a diferença entre 6 km e :
â
Como estamos buscando minimizar o tempo, assumiremos que será menor que 6, então podemos simplificar para .

Passo 7

O tempo para caminhar essa distância é a distância dividida pela velocidade de caminhada:

Passo 8

O tempo total da viagem é a soma do tempo de remo e do tempo de caminhada:

Passo 9

Para encontrar o tempo mínimo, precisamos encontrar o valor de que minimiza . Isso envolve derivar em relação a e encontrar onde a derivada é igual a zero.
Primeiro, vamos derivar :

Passo 10

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por :

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:

Passo 13

Agora, vamos ao quadrado dos dois lados para eliminar a raiz:

Passo 14

Expandindo e simplificando a equação:

Passo 15

Agora que temos o valor de , podemos calcular o tempo total mínimo substituindo na expressão de :
Convertendo para minutos:

Resposta

O tempo mínimo que a pessoa precisa para chegar à casa é de aproximadamente 1 hora e 44 minutos.

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