Uma pessoa em um bote de remo a 2 km da margem (beira) de um rio reto, deseja chegar a uma casa na beira do rio localizada a 6 km do ponto mais próximo na beira do rio ao bote. Se a pessoa pode remar a uma velocidade de
e caminhar a uma velocidade de
, determine o tempo mínimo que precisa a pessoa para chegar à casa.
Passo 1
Então, temos uma pessoa que está em um bote a 2 km da margem de um rio reto. Ela quer chegar a uma casa que fica na margem, a 6 km do ponto mais próximo do bote na beira do rio. A pessoa pode remar a uma velocidade de
e caminhar a uma velocidade de
. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo ela precisa no mínimo para chegar à casa. Vamos usar conceitos de otimização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o rio como uma linha reta. O bote está a 2 km de distância desta linha (margem do rio). A casa está localizada na margem, a 6 km de distância do ponto mais próximo ao bote.
Passo 3
Vamos chamar o ponto mais próximo do bote na margem de
e a localização da casa de
. Queremos encontrar o ponto
na margem onde a pessoa deve desembarcar para minimizar o tempo total de viagem.
Passo 4
A distância que a pessoa vai remar será a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um cateto é de 2 km (distância do bote à margem) e o outro cateto é a distância
ao longo da margem até o ponto
. Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
Passo 5
O tempo para remar essa distância é a distância dividida pela velocidade de remo:
Passo 6
Após desembarcar no ponto
, a pessoa precisará caminhar até a casa
. A distância a caminhar é a diferença entre 6 km e
:
Como estamos buscando minimizar o tempo, assumiremos que
será menor que 6, então podemos simplificar para
.
Passo 7
O tempo para caminhar essa distância é a distância dividida pela velocidade de caminhada:
Passo 8
O tempo total
da viagem é a soma do tempo de remo e do tempo de caminhada:
Passo 9
Para encontrar o tempo mínimo, precisamos encontrar o valor de
que minimiza
. Isso envolve derivar
em relação a
e encontrar onde a derivada é igual a zero.
Primeiro, vamos derivar
:
Passo 10
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:
Passo 13
Agora, vamos ao quadrado dos dois lados para eliminar a raiz:
Passo 14
Expandindo e simplificando a equação:
Passo 15
Agora que temos o valor de
, podemos calcular o tempo total mínimo substituindo
na expressão de
:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo mínimo que a pessoa precisa para chegar à casa é de aproximadamente 1 hora e 44 minutos.
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