Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^1 r ln r d r

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos verificar se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e análise do comportamento da função no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral:
integral0^1 r ln r , dr
Queremos determinar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não possui um valor finito).

Passo 3

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher e da nossa integral de forma estratégica.

Passo 4

Escolhemos:
u = ln r Rightarrow du = 1r dr
dv = r , dr Rightarrow v = r^22

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^1 r ln r , dr = r^22 ln r |0^1 - integral0^1 r^22 cdot 1r , dr
Simplificando a segunda integral:
= r^22 ln r |0^1 - 12 integral0^1 r , dr

Passo 6

Vamos avaliar o termo 1^22 ln 1 = 12 cdot 0 = 0 :
  • Para limr to 0^+ r^22 ln r :
r^22 ln r |0^1 = 0 - 0 = 0
  • Para :
Como tende a 0 e tende a , mas decai mais rapidamente, o limite é 0.
Portanto:

Passo 7

Agora, calculamos a segunda parte:
- 12 integral0^1 r , dr = - 12 [ r^22 ]0^1 = - 12 ( 12 - 0 ) = - 14

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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