Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos verificar se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de integração por partes e análise do comportamento da função no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral:
Queremos determinar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não possui um valor finito).

Passo 3

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Precisamos escolher e da nossa integral de forma estratégica.

Passo 4

Escolhemos:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 6

Vamos avaliar o termo :
  • Para :
  • Para :
Como tende a 0 e tende a , mas decai mais rapidamente, o limite é 0.
Portanto:

Passo 7

Agora, calculamos a segunda parte:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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.
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