Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
f(x) = x^3 - 3 x^2 + 2 x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e determinar se são máximos ou mínimos locais da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as derivadas, que nos ajudam a entender onde a função muda de direção, ou seja, onde ela tem picos (máximos) ou vales (mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função, que nos mostra a taxa de variação de . A derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa igualar a derivada a zero e resolver para :
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de são:

Passo 4

Para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo local, vamos usar a segunda derivada da função. Primeiro, calculamos :
Agora, vamos avaliar nos pontos críticos:
  1. Para :
Como , esse ponto é um mínimo local.
  1. Para :
Como , esse ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • mínimo local
  • máximo local

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