Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os **pontos críticos** e determinar se são **máximos ou mínimos locais** da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de **cálculo diferencial**, especificamente as derivadas, que nos ajudam a entender onde a função muda de direção, ou seja, onde ela tem picos (máximos) ou vales (mínimos).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a **derivada da função**, que nos mostra a taxa de variação de . A derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os **pontos críticos**, a gente precisa igualar a derivada a zero e resolver para : Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara: Então, os valores de são:

Passo 4

Para determinar se cada ponto crítico é um **máximo** ou **mínimo local**, vamos usar a **segunda derivada** da função. Primeiro, calculamos : Agora, vamos avaliar nos pontos críticos: 1. Para : Como , esse ponto é um **mínimo local**. 2. Para : Como , esse ponto é um **máximo local**.

Resposta

Os pontos críticos da função são: - — **mínimo local** - — **máximo local**

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