Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os **pontos críticos** e determinar se são **máximos ou mínimos locais** da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de **cálculo diferencial**, especificamente as derivadas, que nos ajudam a entender onde a função muda de direção, ou seja, onde ela tem picos (máximos) ou vales (mínimos).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a **derivada da função**, que nos mostra a taxa de variação de . A derivada de é:
Passo 3
Agora, para encontrar os **pontos críticos**, a gente precisa igualar a derivada a zero e resolver para :
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de são:
Passo 4
Para determinar se cada ponto crítico é um **máximo** ou **mínimo local**, vamos usar a **segunda derivada** da função. Primeiro, calculamos :
Agora, vamos avaliar nos pontos críticos:
1. Para :
Como , esse ponto é um **mínimo local**.
2. Para :
Como , esse ponto é um **máximo local**.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- — **mínimo local**
- — **máximo local**
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.
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