Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos e determinar se são máximos ou mínimos locais da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as derivadas, que nos ajudam a entender onde a função muda de direção, ou seja, onde ela tem picos (máximos) ou vales (mínimos).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função, que nos mostra a taxa de variação de
. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa igualar a derivada a zero e resolver para
:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de
são:
Passo 4
Para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo local, vamos usar a segunda derivada da função. Primeiro, calculamos
:
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, esse ponto é um mínimo local.
- Para
:
Como
, esse ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— mínimo local -
— máximo local