Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou é uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo da matéria envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como encontrar soluções para equações diferenciais usando métodos como séries de potências ou equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar mais fácil de trabalhar:
Isso significa que a segunda derivada de menos vezes a primeira derivada de menos iguala a zero.

Passo 3

Agora, vamos tentar resolver essa equação diferencial usando uma série de potências. Isso envolve supor que a solução pode ser escrita como uma série infinita:
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:

Passo 6

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de :
Para o primeiro termo, substituímos por :
Para o segundo termo:
Mas para alinhar os índices, podemos reescrever como:
E o terceiro termo já está em .

Passo 7

Agora, combinamos todos os termos:
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 8

Igualamos os coeficientes de a zero:
Para :
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 9

Resolvendo a relação de recorrência:
Isso significa que cada coeficiente depende do coeficiente anterior .

Passo 10

Com essa relação, podemos construir a solução geral da equação diferencial como uma série de potências:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais.

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