I - se é convergente, então
II - se , então é convergente;
III - é convergente se, e somente se, é convergente para todo .
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre sequências e séries convergentes:
I. Se a sequência é convergente, então .
II. Se , então a sequência é convergente.
III. A série é convergente se, e somente se, todas as séries a partir de qualquer termo forem convergentes.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de convergência de sequências e séries, além de aplicar teoremas específicos que relacionam esses conceitos.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação I: "Se a sequência é convergente, então ".
Aqui, é a sequência das somas parciais da série , ou seja, . Um teorema importante diz que se a sequência das somas parciais converge, então o limite dos termos individuais deve ser zero. Isso porque, se os termos não tendem a zero, as somas parciais não podem se estabilizar em um valor finito.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Se , então a sequência é convergente”.
Esse é um ponto interessante. É verdade que se converge, então tende a zero, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Existem séries onde os termos tendem a zero, mas a série não converge. Um exemplo clássico é a série harmônica , onde , mas a série diverge.
Logo, a afirmação II nem sempre é verdadeira.

Passo 4

Vamos analisar a afirmação III: "A série é convergente se, e somente se, é convergente para todo ".
Essa afirmação fala sobre a convergência das séries a partir de qualquer termo . Se a série original converge, então certamente qualquer série a partir de um ponto também converge, pois estamos apenas omitindo um número finito de termos iniciais, o que não afeta a convergência.
O “se, e somente se” também vale porque se todas as séries a partir de qualquer convergem, então a série original também deve convergir. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

As afirmações I e III são verdadeiras.

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