I - se
é convergente, então
II - se
, então
é convergente;
III -
é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
.
II - se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
(a) apenas
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre sequências e séries convergentes:
I. Se a sequência é convergente, então
.
II. Se , então a sequência
é convergente.
III. A série é convergente se, e somente se, todas as séries a partir de qualquer termo
forem convergentes.
I. Se a sequência
II. Se
III. A série
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de convergência de sequências e séries, além de aplicar teoremas específicos que relacionam esses conceitos.
Passo 2
Vamos analisar a afirmação I: "Se a sequência
é convergente, então
".
Aqui,
é a sequência das somas parciais da série
, ou seja,
. Um teorema importante diz que se a sequência das somas parciais
converge, então o limite dos termos individuais
deve ser zero. Isso porque, se os termos não tendem a zero, as somas parciais não podem se estabilizar em um valor finito.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II: “Se
, então a sequência
é convergente”.
Esse é um ponto interessante. É verdade que se
converge, então
tende a zero, mas o contrário nem sempre é verdadeiro. Existem séries onde os termos
tendem a zero, mas a série não converge. Um exemplo clássico é a série harmônica
, onde
, mas a série diverge.
Logo, a afirmação II nem sempre é verdadeira.
Passo 4
Vamos analisar a afirmação III: "A série
é convergente se, e somente se,
é convergente para todo
".
Essa afirmação fala sobre a convergência das séries a partir de qualquer termo
. Se a série original
converge, então certamente qualquer série a partir de um ponto
também converge, pois estamos apenas omitindo um número finito de termos iniciais, o que não afeta a convergência.
O “se, e somente se” também vale porque se todas as séries a partir de qualquer
convergem, então a série original também deve convergir. Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Resposta
As afirmações I e III são verdadeiras.
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