Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria que vai de 2 até o infinito:
O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais impróprias e análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar se uma integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Observamos que a fração pode ser decomposta em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos expandir e coletar os termos semelhantes para descobrir os valores de , e .
Passo 4
Expandindo a direita:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 5
Comparando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação: →
Agora, temos:
2.
4.
Somando as duas equações: →
Substituindo na equação 2: →
E, finalmente, .
Passo 7
Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Isso pode ser dividido em duas integrais:
Passo 9
Calculando a primeira integral:
E a segunda integral pode ser decomposta:
Passo 10
Agora, juntando tudo:
Vamos avaliar esse limite.
Passo 11
Analisando o comportamento quando tende ao infinito:
cresce sem limite.
também cresce sem limite, mas mais rapidamente.
tende a .
Então, precisamos verificar se a expressão completa converge.
Passo 12
Observando que cresce mais rápido que , a diferença tende a . No entanto, isso indica que a integral diverge.