Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.
integral2^infty x+3(x-1)(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria que vai de 2 até o infinito:
integral2^infty x+3(x-1)(x^2+1) , dx
O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais impróprias e análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar se uma integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Observamos que a fração pode ser decomposta em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
x+3(x-1)(x^2+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum x + 3 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1) , temos:
Agora, vamos expandir e coletar os termos semelhantes para descobrir os valores de , e .

Passo 4

Expandindo a direita:
x + 3 = A x^2 + A + B x^2 - B x + C x - C
Agrupando os termos semelhantes:
x + 3 = (A + B)x^2 + (C - B)x + (A - C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 5

Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de equações para resolver:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação:
Agora, temos:
2.
4.
Somando as duas equações:
Substituindo na equação 2:
E, finalmente, .

Passo 7

Agora que encontramos x+3(x-1)(x^2+1) = 2x-1 + -2x -1x^2+1 , 2x-1 - 2x + 1x^2+1 e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral2^infty ( 2x-1 - 2x + 1x^2+1 ) dx
Isso pode ser dividido em duas integrais:
2 integral2^infty 1x-1 dx - integral2^infty 2x + 1x^2+1 dx

Passo 9

Calculando a primeira integral:
2 integral 1x-1 dx = 2 ln|x - 1|
E a segunda integral pode ser decomposta:
integral 2xx^2+1 dx + integral 1x^2+1 dx = ln(x^2 + 1) + tan^-1(x)

Passo 10

Agora, juntando tudo:
2 ln|x - 1| - ln(x^2 + 1) - tan^-1(x) |2^infty
Vamos avaliar esse limite.

Passo 11

Analisando o comportamento quando tende ao infinito:
  • cresce sem limite.
  • também cresce sem limite, mas mais rapidamente.
  • tende a .
Então, precisamos verificar se a expressão completa converge.

Passo 12

Observando que cresce mais rápido que , a diferença tende a . No entanto, isso indica que a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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