Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria que vai de 2 até o infinito:
O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais impróprias e análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar se uma integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Observamos que a fração pode ser decomposta em frações parciais. Isso significa que vamos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos expandir e coletar os termos semelhantes para descobrir os valores de , e .

Passo 4

Expandindo a direita:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 5

Comparando os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de equações para resolver:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na terceira equação:
Agora, temos:
2.
4.
Somando as duas equações:
Substituindo na equação 2:
E, finalmente, .

Passo 7

Agora que encontramos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Isso pode ser dividido em duas integrais:

Passo 9

Calculando a primeira integral:
E a segunda integral pode ser decomposta:

Passo 10

Agora, juntando tudo:
Vamos avaliar esse limite.

Passo 11

Analisando o comportamento quando tende ao infinito:
  • cresce sem limite.
  • também cresce sem limite, mas mais rapidamente.
  • tende a .
Então, precisamos verificar se a expressão completa converge.

Passo 12

Observando que cresce mais rápido que , a diferença tende a . No entanto, isso indica que a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função .
(d)
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Use a simetria dos integrandos para calcular