Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e, a partir disso, determinar o intervalo de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos montar a razão :
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Simplificando cada parte:
Portanto, o limite fica:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que :
Como o quadrado de qualquer número é sempre positivo, podemos simplificar para:
Passo 7
Resolvendo a inequação:
Adicionando 1 em todas as partes:
Passo 8
O raio de convergência é a metade da largura do intervalo de convergência. Vemos que o intervalo vai de 0 a 2, então a largura é 2. Portanto:
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .