Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e, a partir disso, determinar o intervalo de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Simplificando cada parte:
Portanto, o limite fica:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que :
Como o quadrado de qualquer número é sempre positivo, podemos simplificar para:

Passo 7

Resolvendo a inequação:
Adicionando 1 em todas as partes:

Passo 8

O raio de convergência é a metade da largura do intervalo de convergência. Vemos que o intervalo vai de 0 a 2, então a largura é 2. Portanto:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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