Use a simetria dos integrandos para calcular
integral-3^3(x^3+4 x^2-3 x-6) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a simetria dos integrandos. Isso significa que a gente vai olhar se as funções dentro da integral são pares ou ímpares, o que ajuda a simplificar os cálculos. Para isso, precisamos lembrar das propriedades de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada termo da função :
  • é uma função ímpar porque .
  • é uma função par porque .
  • é uma função ímpar porque .
  • é uma constante par, pois qualquer constante é par.

Passo 3

Agora, separamos a integral em partes pares e ímpares:
integral-3^3 x^3 dx + integral-3^3 4x^2 dx + integral-3^3 (-3x) dx + integral-3^3 (-6) dx
Funções ímpares, quando integradas sobre intervalos simétricos como , resultam em zero. Isso acontece porque a área positiva de um lado cancela com a negativa do outro.

Passo 4

Aplicando a propriedade da simetria:
integral-3^3 x^3 dx = 0 (ímpar) í
integral-3^3 (-3x) dx = 0 (ímpar) í
Então, sobra:
integral-3^3 4x^2 dx + integral-3^3 (-6) dx

Passo 5

Vamos calcular essas duas integrais restantes:
  1. 4 times 2 integral0^3 x^2 dx = 8 [ x^33 ]0^3 = 8 ( 273 - 0 ) = 8 times 9 = 72
Sabemos que é par, então:

Resposta

Somando os resultados:
72 - 36 = 36
Então, o valor da integral é 36.

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