Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria de até da função em relação a . O conteúdo abordado aqui é o de integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver, vamos usar a decomposição em frações parciais e calcular o limite da integral quando a variável de integração tende a infinito.
Passo 2
Primeiro, faremos a decomposição em frações parciais da função . Isso significa expressar a função como a soma de duas frações mais simples.
Encontramos constantes e tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Passo 4
Para que as identidades sejam verdadeiras para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Assim, temos o sistema: