Determine se cada integral é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria de até da função em relação a . O conteúdo abordado aqui é o de integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver, vamos usar a decomposição em frações parciais e calcular o limite da integral quando a variável de integração tende a infinito.

Passo 2

Primeiro, faremos a decomposição em frações parciais da função . Isso significa expressar a função como a soma de duas frações mais simples.
Encontramos constantes e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:

Passo 4

Para que as identidades sejam verdadeiras para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Assim, temos o sistema:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , podemos reescrever a função:

Passo 7

A integral original se torna:
Podemos separar em duas integrais:

Passo 8

Calculamos cada integral:
Então,

Passo 9

Aplicando os limites:
Simplificando:

Passo 10

Para , , então . Assim, o limite é:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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Determine se cada integral é convergente ou divergente.
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