Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral0^infty 1(x+2)(x+3 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria de até da função em relação a . O conteúdo abordado aqui é o de integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver, vamos usar a decomposição em frações parciais e calcular o limite da integral quando a variável de integração tende a infinito.

Passo 2

Primeiro, faremos a decomposição em frações parciais da função 1(x+2)(x+3) = Ax+2 + Bx+3 . Isso significa expressar a função como a soma de duas frações mais simples.
Encontramos constantes e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x+3) + B(x+2) para eliminar os denominadores, temos:
1 = (A + B)x + (3A + 2B)
Simplificando:

Passo 4

Para que as identidades sejam verdadeiras para todo A + B = 0 3A + 2B = 1 , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Assim, temos o sistema:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, 3A + 2(-A) = 1 implies 3A - 2A = 1 implies A = 1 .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que temos 1(x+2)(x+3) = 1x+2 - 1x+3 e , podemos reescrever a função:

Passo 7

A integral original se torna:
integral0^infty ( 1x+2 - 1x+3 ) dx
Podemos separar em duas integrais:
integral0^infty 1x+2 dx - integral0^infty 1x+3 dx

Passo 8

Calculamos cada integral:
integral 1x+a dx = ln|x+a| + C
Então,
limt to infty [ ln(x+2) |0^t - ln(x+3) |0^t ]

Passo 9

Aplicando os limites:
limt to infty ( ln(t+2) - ln(2) - ln(t+3) + ln(3) )
Simplificando:
limt to infty ( ln( t+2t+3 ) + ln( 32 ) )

Passo 10

Para 0 + ln( 32 ) = ln( 32 ) , , então . Assim, o limite é:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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