Estude a continuidade da função dada abaixo nos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada e queremos verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites laterais e o valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O valor do limite é igual a .
Vamos aplicar isso nos pontos e .
Passo 3
Analisando a continuidade em f(1) = -1^3 + 1 - 2 = -1 + 1 - 2 = -2 :
Primeiro, vamos encontrar . Observando a função, quando , usamos a segunda parte da definição:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando f(x) = x^2 - 1x^2 + x - 2 se aproxima de 1 pela esquerda ( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) ) e pela direita ( f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 1) = x + 1x + 2 ).
Para limx to 1^- f(x) = 1 + 11 + 2 = 23 :
Usamos a primeira expressão da fun��ão:
Vamos simplificar:
Então:
Agora, tomando o limite:
Passo 5
Para f(x) = -x^3 + x - 2 :
Aqui, usamos a segunda expressão da função:
limx to 1^+ f(x) = -1^3 + 1 - 2 = -1 + 1 - 2 = -2
Calculando o limite:
Passo 6
Agora, comparamos os limites e o valor da função em limx to 1^- f(x) = 23 limx to 1^+ f(x) = -2 f(1) = -2 :
Como os limites laterais não são iguais (), a função não é contínua em .
Passo 7
Analisando a continuidade em f(2) = -2^3 + 2 - 2 = -8 + 2 - 2 = -8 :
Primeiro, vamos encontrar . Usando a segunda parte da definição da função:
Então, .
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite da função quando f(x) = -x^3 + x - 2 se aproxima de 2 pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = -2^3 + 2 - 2 = -8 + 2 - 2 = -8 ) e pela direita ().
Para :
Usamos a segunda expressão da função:
Calculando o limite:
Passo 9
Para f(x) = exp(x^2 - 4x^2 - 3x + 2) :
Aqui, usamos a terceira expressão da função: