Estude a continuidade da função dada abaixo nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada e queremos verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites laterais e o valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O valor do limite é igual a .
Vamos aplicar isso nos pontos e .

Passo 3

Analisando a continuidade em :
Primeiro, vamos encontrar . Observando a função, quando , usamos a segunda parte da definição:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Para :
Usamos a primeira expressão da fun��ão:
Vamos simplificar:
Então:
Agora, tomando o limite:

Passo 5

Para :
Aqui, usamos a segunda expressão da função:
Calculando o limite:

Passo 6

Agora, comparamos os limites e o valor da função em :
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Analisando a continuidade em :
Primeiro, vamos encontrar . Usando a segunda parte da definição da função:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Para :
Usamos a segunda expressão da função:
Calculando o limite:

Passo 9

Para :
Aqui, usamos a terceira expressão da função:
Vamos simplificar a fração no expoente:
Então:
Agora, tomando o limite:

Passo 10

Agora, comparamos os limites e o valor da função em :
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua nos pontos e .

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