Estude a continuidade da função f dada abaixo nos pontos x=1 e x=2.
f(x)=ccx^2-1x^2+x-2 & se x<1 -x^3+x-2 & se 1 <= x <= 2 exp (x^2-4x^2-3 x+2) & se x>2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada e queremos verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites laterais e o valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O valor do limite é igual a .
Vamos aplicar isso nos pontos e .

Passo 3

Analisando a continuidade em f(1) = -1^3 + 1 - 2 = -1 + 1 - 2 = -2 :
Primeiro, vamos encontrar . Observando a função, quando , usamos a segunda parte da definição:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando f(x) = x^2 - 1x^2 + x - 2 se aproxima de 1 pela esquerda ( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) ) e pela direita ( f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 1) = x + 1x + 2 ).
Para limx to 1^- f(x) = 1 + 11 + 2 = 23 :
Usamos a primeira expressão da fun��ão:
Vamos simplificar:
Então:
Agora, tomando o limite:

Passo 5

Para f(x) = -x^3 + x - 2 :
Aqui, usamos a segunda expressão da função:
limx to 1^+ f(x) = -1^3 + 1 - 2 = -1 + 1 - 2 = -2
Calculando o limite:

Passo 6

Agora, comparamos os limites e o valor da função em limx to 1^- f(x) = 23 limx to 1^+ f(x) = -2 f(1) = -2 :
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Analisando a continuidade em f(2) = -2^3 + 2 - 2 = -8 + 2 - 2 = -8 :
Primeiro, vamos encontrar . Usando a segunda parte da definição da função:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite da função quando f(x) = -x^3 + x - 2 se aproxima de 2 pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = -2^3 + 2 - 2 = -8 + 2 - 2 = -8 ) e pela direita ( ).
Para :
Usamos a segunda expressão da função:
Calculando o limite:

Passo 9

Para f(x) = exp(x^2 - 4x^2 - 3x + 2) :
Aqui, usamos a terceira expressão da função:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Vamos simplificar a fração no expoente:
x^2 - 4x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x - 2) = x + 2x - 1
Então:
limx to 2^+ f(x) = exp(2 + 22 - 1) = exp(4) = e^4
Agora, tomando o limite:

Passo 10

Agora, comparamos os limites e o valor da função em limx to 2^- f(x) = -8 limx to 2^+ f(x) = e^4 f(2) = -8 :
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua nos pontos e .

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