Estude a continuidade da função dada abaixo nos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada e queremos verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites laterais e o valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O valor do limite é igual a .
Vamos aplicar isso nos pontos e .
Passo 3
Analisando a continuidade em :
Primeiro, vamos encontrar . Observando a função, quando , usamos a segunda parte da definição:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda () e pela direita ().
Para :
Usamos a primeira expressão da fun��ão:
Vamos simplificar:
Então:
Agora, tomando o limite:
Passo 5
Para :
Aqui, usamos a segunda expressão da função:
Calculando o limite:
Passo 6
Agora, comparamos os limites e o valor da função em :
Como os limites laterais não são iguais (), a função não é contínua em .
Passo 7
Analisando a continuidade em :
Primeiro, vamos encontrar . Usando a segunda parte da definição da função:
Então, .
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda () e pela direita ().
Para :
Usamos a segunda expressão da função:
Calculando o limite:
Passo 9
Para :
Aqui, usamos a terceira expressão da função:
Vamos simplificar a fração no expoente:
Então:
Agora, tomando o limite:
Passo 10
Agora, comparamos os limites e o valor da função em :
Como os limites laterais não são iguais (), a função não é contínua em .