Determine se cada integral é convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e comportamento de funções em intervalos específicos.

Passo 2

Vamos analisar a função que está sendo integrada: . Sabemos que é igual a zero quando . Isso significa que tem uma assíntota vertical em , o que indica que a função tende ao infinito nesse ponto.

Passo 3

Devido à existência dessa assíntota em , a integral é uma integral imprópria. Para determinar se ela converge ou diverge, precisamos avaliar os limites da integral quando se aproxima de por ambos os lados:

Passo 4

Vamos calcular cada um desses limites separadamente. Sabemos que a integral de é . Avaliando os limites:
Para :
Para :

Passo 5

Como ambos os limites tendem ao infinito (um para e outro para ), a integral total também tende ao infinito. Isso indica que a área sob a curva entre e é infinita.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
Represente as situações abaixo através de uma função de duas ou mais variáveis:
o comprimento do lado maior de um triângulo retângulo, sabendo que os outros dois lados menores possuem metros e metros.
Represente as situações abaixo através de uma função de duas ou mais variáveis:
a distância entre dois pontos e ;