Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a integral
é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo relacionados a integrais impróprias e comportamento de funções em intervalos específicos.
Passo 2
Vamos analisar a função que está sendo integrada:
. Sabemos que
é igual a zero quando
. Isso significa que
tem uma assíntota vertical em
, o que indica que a função tende ao infinito nesse ponto.
Passo 3
Devido à existência dessa assíntota em
, a integral
é uma integral imprópria. Para determinar se ela converge ou diverge, precisamos avaliar os limites da integral quando
se aproxima de
por ambos os lados:
Passo 4
Vamos calcular cada um desses limites separadamente. Sabemos que a integral de
é
. Avaliando os limites:
Para
:
Para
:
Passo 5
Como ambos os limites tendem ao infinito (um para
e outro para
), a integral total também tende ao infinito. Isso indica que a área sob a curva
entre
e
é infinita.
Resposta
A integral
é divergente.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
Represente as situações abaixo através de uma função de duas ou mais variáveis:
o comprimento do lado maior de um triângulo retângulo, sabendo que os outros dois lados menores possuem metros e
metros.
o comprimento do lado maior de um triângulo retângulo, sabendo que os outros dois lados menores possuem
Represente as situações abaixo através de uma função de duas ou mais variáveis:
a distância entre dois pontos e
;
a distância entre dois pontos