Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
integral1^+infty 1+sen^2 xraizx d x.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a integral converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias e ao Teste de Comparação. Vamos precisar comparar essa função com outra mais simples para ver seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da integral: 0 <= sin^2 x <= 1 . Sabemos que o 1 <= 1 + sin^2 x <= 2 sempre fica entre 0 e 1, ou seja:
1raizx <= 1 + sin^2 xraizx <= 2raizx
Assim, somando 1 em todos os lados da desigualdade:
Dividindo tudo por (que é positivo para ):
Esse é o nosso ponto de partida para comparar com integrais que já conhecemos.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma integral conhecida:
integral1^+infty 1raizx , dx
Essa integral pode ser resolvida de forma simples:
integral 1raizx , dx = 2raizx + C
Avaliando de 1 até limb to +infty 2raizb - 2raiz1 = +infty - 2 = +infty :
Ou seja, a integral diverge.

Passo 4

Como vimos que e a integral do termo menor diverge, pelo Teste de Comparação, nossa integral inicial também diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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