Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a integral
converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais impróprias e ao Teste de Comparação. Vamos precisar comparar essa função com outra mais simples para ver seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte dentro da integral:
. Sabemos que o
sempre fica entre 0 e 1, ou seja:
Assim, somando 1 em todos os lados da desigualdade:
Dividindo tudo por
(que é positivo para
):
Esse é o nosso ponto de partida para comparar com integrais que já conhecemos.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma integral conhecida:
Essa integral pode ser resolvida de forma simples:
Avaliando de 1 até
:
Ou seja, a integral
diverge.
Passo 4
Como vimos que
e a integral do termo menor
diverge, pelo Teste de Comparação, nossa integral inicial também diverge.
Resposta
A integral
é divergente.