Determine o limite
, se existir, ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Neste exercício, precisamos determinar o limite
. O conteúdo da matéria envolve limites de funções de duas variáveis e o uso de técnicas para avaliar tais limites. Para resolver, vamos utilizar a propriedade do limite da função seno e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir
, onde
é a distância do ponto
até a origem.
Passo 3
Com essa substituição, a expressão do limite fica:
Passo 4
Sabemos que
. Neste caso, temos
, então podemos reescrever a expressão como:
Passo 5
Aplicando a propriedade do limite, temos:
Resposta
O limite é
.