Determine o limite lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)4 x^2+4 y^2, se existir, ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Neste exercício, precisamos determinar o limite . O conteúdo da matéria envolve limites de funções de duas variáveis e o uso de técnicas para avaliar tais limites. Para resolver, vamos utilizar a propriedade do limite da função seno e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir , onde é a distância do ponto até a origem.

Passo 3

Com essa substituição, a expressão do limite fica:
sin(r^2)4 r^2

Passo 4

Sabemos que sin(r^2)r^2 cdot 14 . Neste caso, temos , então podemos reescrever a expressão como:

Passo 5

Aplicando a propriedade do limite, temos:
limr to 0 sin(r^2)r^2 cdot 14 = 1 cdot 14 = 14

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados