Mostre que a função
tem como superfície de nível o cilindro de equação
. Determine o nível desta superfície para a função
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de três variáveis,
, e queremos mostrar que a superfície de nível dessa função é o cilindro com a equação
. Além disso, precisamos determinar qual é o valor do nível
que corresponde a essa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como relacionar a função dada com a equação do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Em matemática, uma superfície de nível para uma função de três variáveis
é o conjunto de pontos
que fazem a função igual a uma constante
. Ou seja, é a solução da equação
. Visualmente, essas superfícies nos mostram onde a função mantém um valor constante.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa função
, queremos encontrar a superfície de nível que corresponda ao cilindro
. Vamos igualar a função a uma constante
:
Passo 4
Comparando a equação da superfície de nível
com a equação do cilindro
, vemos que elas serão equivalentes se:
Para que isso seja igual a
, precisamos que:
Resposta
O nível da superfície para a função
é
.