Mostre que a função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + 1 tem como superfície de nível o cilindro de equação x^2 + y^2 = 10. Determine o nível desta superfície para a função f.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de três variáveis, , e queremos mostrar que a superfície de nível dessa função é o cilindro com a equação . Além disso, precisamos determinar qual é o valor do nível que corresponde a essa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como relacionar a função dada com a equação do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Em matemática, uma superfície de nível para uma função de três variáveis é o conjunto de pontos que fazem a função igual a uma constante . Ou seja, é a solução da equação . Visualmente, essas superfícies nos mostram onde a função mantém um valor constante.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa função , queremos encontrar a superfície de nível que corresponda ao cilindro . Vamos igualar a função a uma constante :

Passo 4

Comparando a equação da superfície de nível com a equação do cilindro , vemos que elas serão equivalentes se:
Para que isso seja igual a , precisamos que:

Resposta

O nível da superfície para a função é .

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