Verifique se a função f é contínua no ponto 1,0. A função é contínua em 2,0 ?
f(x, y) = { (x * sen(y)) / y, se y ≠ 0 ; 1, se y = 0 }

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de . A pergunta é saber se essa função é contínua nos pontos e . Para resolver isso, vamos falar sobre continuidade de funções de duas variáveis e verificar se o limite da função quando se aproxima desses pontos é igual ao valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a . Ou seja:
Vamos aplicar isso para os pontos e .

Passo 3

Vamos começar com o ponto . A função é definida como:
Quando , podemos simplificar a expressão . Sabemos que:
Então, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Porque à medida que se aproxima de , se aproxima de 1.

Passo 5

Sabemos que (pela definição da função quando ). Como o limite da função quando se aproxima de é igual a , isso significa que a função é contínua em .

Passo 6

Vamos agora verificar o ponto . Usando o mesmo raciocínio:
Mas pela definição da função, .

Passo 7

Aqui, o limite da função quando se aproxima de é 2, mas o valor da função em é 1. Como , isso significa que a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua no ponto e não é contínua no ponto .

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