Verifique se a função
é contínua no ponto
. A função é contínua em
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de
. A pergunta é saber se essa função é contínua nos pontos
e
. Para resolver isso, vamos falar sobre continuidade de funções de duas variáveis e verificar se o limite da função quando se aproxima desses pontos é igual ao valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Ou seja:
Vamos aplicar isso para os pontos
e
.
Passo 3
Vamos começar com o ponto
. A função
é definida como:
Quando
, podemos simplificar a expressão . Sabemos que:
Então, para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Porque à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de 1.
Passo 5
Sabemos que
(pela definição da função quando
). Como o limite da função quando
se aproxima de
é igual a
, isso significa que a função é contínua em
.
Passo 6
Vamos agora verificar o ponto
. Usando o mesmo raciocínio:
Mas pela definição da função,
.
Passo 7
Aqui, o limite da função quando
se aproxima de
é 2, mas o valor da função em
é 1. Como
, isso significa que a função não é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua no ponto
e não é contínua no ponto
.