Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
.
Passo 1
Então, a gente tem uma integral que vai de 1 até o infinito, e a função que estamos integrando é
. O conteúdo aqui é sobre integrais impróprias e a gente vai precisar usar o teste de comparação para descobrir se a integral converge (ou seja, tem um número finito como resultado) ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
sempre está entre 0 e 1, porque o seno de qualquer número é sempre entre -1 e 1, então quando a gente eleva ao quadrado, fica entre 0 e 1 mesmo. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa função
com uma função mais simples:
. Sabemos que
, porque
nunca passa de 1.
Passo 4
A próxima coisa é saber se a integral da função com a qual estamos comparando,
, converge. Essa é uma integral bem conhecida e ela converte, ou seja, resulta em um número finito. Especificamente,
.
Passo 5
Como
e a integral de
converge, pelo teste de comparação, a nossa integral original
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.