Determine se cada integral é convergente ou divergente, sem necessariamente calculá-la
integral1^+infty sen^2 xx^2 d x.

Passo 1

Então, a gente tem uma integral que vai de 1 até o infinito, e a função que estamos integrando é . O conteúdo aqui é sobre integrais impróprias e a gente vai precisar usar o teste de comparação para descobrir se a integral converge (ou seja, tem um número finito como resultado) ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sempre está entre 0 e 1, porque o seno de qualquer número é sempre entre -1 e 1, então quando a gente eleva ao quadrado, fica entre 0 e 1 mesmo. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa função com uma função mais simples: . Sabemos que , porque nunca passa de 1.

Passo 4

A próxima coisa é saber se a integral da função com a qual estamos comparando, , converge. Essa é uma integral bem conhecida e ela converte, ou seja, resulta em um número finito. Especificamente, .

Passo 5

Como e a integral de converge, pelo teste de comparação, a nossa integral original também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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