Seja a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Existem o valores
ou
? Justifique sua resposta;
- Faça o gráfico das curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é:
- Descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
e a função está definida, e também desenhar esse domínio num gráfico. - Verificar se a função tem valores definidos em alguns pontos específicos:
, e . - Desenhar as curvas de nível dessa função para esboçar o gráfico dela.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida, ou seja, dá um número real.
Como temos uma raiz quadrada na função, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de números negativos não é um número real. Então, temos que:
Rearranjando:
Isso significa que a soma dos quadrados de
e
deve ser pelo menos 4.
Passo 3
Agora, vamos interpretar essa desigualdade. A equação
representa um círculo com raio 2, centrado na origem (0,0).
Como temos
, estamos falando de todos os pontos que estão fora desse círculo ou exatamente na fronteira dele. Ou seja, o domínio da função é o conjunto de pontos que formam o exterior do círculo de raio 2 e o próprio círculo.
Passo 4
Vamos representar graficamente o domínio. Imagine um gráfico de
e
. Desenhamos um círculo com raio 2 centrado na origem. O domínio será tudo que está fora desse círculo, incluindo o próprio círculo. Isso porque a desigualdade é maior ou igual a.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função tem valores definidos nos pontos
,
e
.
Primeiro, substituímos os valores de
e
na função e verificamos se a expressão dentro da raiz é maior ou igual a zero.
- Para
:
Aqui, temos a raiz de um número negativo, o que não está definido nos números reais. Portanto,
não existe.
- Para
:
Neste caso, a expressão dentro da raiz é 4, que é maior que zero. Então,
.
- Para
:
Aqui, a expressão dentro da raiz é zero, que também é permitido. Portanto,
.
Passo 6
Por último, vamos desenhar as curvas de nível da função para esboçar o gráfico dela. As curvas de nível são as curvas onde a função assume um valor constante. Ou seja, para algum
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível é um círculo com raio
. Quanto maior
, maior o raio do círculo.
Resposta
-
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos onde . Graficamente, isso corresponde ao exterior e à fronteira de um círculo com raio 2 centrado na origem. -
A função não está definida em
, pois resulta em uma raiz quadrada de um número negativo. Já e são valores válidos. -
As curvas de nível da função são círculos com equação
, onde é uma constante. Essas curvas ajudam a esboçar o gráfico da função, mostrando círculos concêntricos com a origem e raios aumentando conforme aumenta.