Seja a função f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 4).
  1. Determine o domínio e represente-o graficamente;
  2. Existem o valores f(0,0), f(2,-2) ou f(0, -2) ? Justifique sua resposta;
  3. Faça o gráfico das curvas de nível para esboçar o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de e a função está definida, e também desenhar esse domínio num gráfico.
  2. Verificar se a função tem valores definidos em alguns pontos específicos: , e .
  3. Desenhar as curvas de nível dessa função para esboçar o gráfico dela.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida, ou seja, dá um número real.
Como temos uma raiz quadrada na função, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de números negativos não é um número real. Então, temos que:
Rearranjando:
Isso significa que a soma dos quadrados de e deve ser pelo menos 4.

Passo 3

Agora, vamos interpretar essa desigualdade. A equação representa um círculo com raio 2, centrado na origem (0,0).
Como temos , estamos falando de todos os pontos que estão fora desse círculo ou exatamente na fronteira dele. Ou seja, o domínio da função é o conjunto de pontos que formam o exterior do círculo de raio 2 e o próprio círculo.

Passo 4

Vamos representar graficamente o domínio. Imagine um gráfico de e . Desenhamos um círculo com raio 2 centrado na origem. O domínio será tudo que está fora desse círculo, incluindo o próprio círculo. Isso porque a desigualdade é maior ou igual a.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função tem valores definidos nos pontos , e .
Primeiro, substituímos os valores de e na função e verificamos se a expressão dentro da raiz é maior ou igual a zero.
  1. Para :
Aqui, temos a raiz de um número negativo, o que não está definido nos números reais. Portanto, não existe.
  1. Para :
Neste caso, a expressão dentro da raiz é 4, que é maior que zero. Então, .
  1. Para :
Aqui, a expressão dentro da raiz é zero, que também é permitido. Portanto, .

Passo 6

Por último, vamos desenhar as curvas de nível da função para esboçar o gráfico dela. As curvas de nível são as curvas onde a função assume um valor constante. Ou seja, para algum , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível é um círculo com raio . Quanto maior , maior o raio do círculo.

Resposta

  1. O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde . Graficamente, isso corresponde ao exterior e à fronteira de um círculo com raio 2 centrado na origem.
  2. A função não está definida em , pois resulta em uma raiz quadrada de um número negativo. Já e são valores válidos.
  3. As curvas de nível da função são círculos com equação , onde é uma constante. Essas curvas ajudam a esboçar o gráfico da função, mostrando círculos concêntricos com a origem e raios aumentando conforme aumenta.

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