Escreva os primeiros termos da série
para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever os primeiros termos da série
e depois calcular a soma dessa série.
Matéria envolvida: Estamos lidando com séries infinitas, especificamente uma série geométrica alternada. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os termos da série e usar a fórmula da soma da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa série. A série
significa que somamos infinitos termos onde, para cada valor de
, calculamos
.
Vamos calcular os primeiros termos substituindo
por 0, 1, 2, 3, etc.
Passo 3
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, os primeiros termos da série são:
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma dessa série. Observamos que é uma série geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
Importante: Essa fórmula só funciona se
.
Passo 5
Identificando os valores na nossa série:
-
(primeiro termo) -
(razão, pois )
Como
, podemos usar a fórmula da soma.
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Resposta
A soma da série
é 4.