Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty(-1)^n 54^n para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever os primeiros termos da série e depois calcular a soma dessa série.
Matéria envolvida: Estamos lidando com séries infinitas, especificamente uma série geométrica alternada. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os termos da série e usar a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa série. A série significa que somamos infinitos termos onde, para cada valor de , calculamos .
Vamos calcular os primeiros termos substituindo por 0, 1, 2, 3, etc.

Passo 3

Para (-1)^0 54^0 = 1 times 51 = 5 :
(-1)^1 54^1 = -1 times 54 = -54
Para (-1)^2 54^2 = 1 times 516 = 516 :
(-1)^3 54^3 = -1 times 564 = -564
Para 5, -54, 516, -564, ldots :
Para :
Então, os primeiros termos da série são:

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dessa série. Observamos que é uma série geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
Importante: Essa fórmula só funciona se .

Passo 5

Identificando os valores na nossa série:
  • (primeiro termo)
  • (razão, pois )
Como , podemos usar a fórmula da soma.

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
S = 51 - (-14) = 51 + 14 = 554 = 5 times 45 = 4

Resposta

A soma da série é 4.

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