Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Estamos lidando com integrais impróprias aqui, que geralmente envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular integrais de funções exponenciais e entender o conceito de limite quando o intervalo vai até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral
é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, reescrevemos a integral com um limite finito
e depois calculamos o limite quando
vai para o infinito:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 4
Aplicamos os limites de integração à antiderivada:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a zero quando
vai para o infinito, porque a exponencial se torna muito pequena.
Passo 6
Portanto, o limite simplifica para:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.