Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral2^infty e^-5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a integral imprópria integral2^infty e^-5x , dx é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Estamos lidando com integrais impróprias aqui, que geralmente envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como calcular integrais de funções exponenciais e entender o conceito de limite quando o intervalo vai até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral integral2^infty e^-5x , dx é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, reescrevemos a integral com um limite finito b e depois calculamos o limite quando b vai para o infinito:
integral2^infty e^-5x , dx = limb to infty integral2^b e^-5x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral2^b e^-5x , dx. A antiderivada de e^-5x é:
integral e^-5x , dx = -15 e^-5x + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicamos os limites de integração à antiderivada:
[ -15 e^-5x ]2^b = -15 e^-5b - ( -15 e^-10 ) = -15 e^-5b + 15 e^-10

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( -15 e^-5b + 15 e^-10 )
Sabemos que e^-5b tende a zero quando b vai para o infinito, porque a exponencial se torna muito pequena.

Passo 6

Portanto, o limite simplifica para:
0 + 15 e^-10 = 15 e^-10

Resposta

A integral integral2^infty e^-5x , dx é convergente e seu valor é 15 e^-10.

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