Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por
e
gira em torno das retas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando a região limitada pelas curvas
e
gira em torno da reta
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas) para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram para definir os limites de integração. Vamos resolver
.
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Como estamos girando em torno de uma reta vertical
, o método dos cilindros é mais adequado. Esse método envolve integrar a área das “casas cilíndricas” formadas pela rotação das curvas ao redor da reta.
A fórmula do volume usando o método dos cilindros é:
Onde:
-
é a distância do elemento de área à reta de rotação. -
é a altura do elemento de área.
Passo 4
Vamos identificar
e
.
- A distância da reta
até um ponto é . - A altura
é a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de integração. Aqui, está acima de entre e .
Então:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 7
Avaliaremos as integrais de 0 a 1:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do volume:
Vamos achar um denominador comum, que é 60:
Somando:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos por
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
cal
cal
Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.