Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
x = -2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando a região limitada pelas curvas e gira em torno da reta . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas) para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram para definir os limites de integração. Vamos resolver .
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Como estamos girando em torno de uma reta vertical , o método dos cilindros é mais adequado. Esse método envolve integrar a área das “casas cilíndricas” formadas pela rotação das curvas ao redor da reta.
A fórmula do volume usando o método dos cilindros é:
Onde:
  • é a distância do elemento de área à reta de rotação.
  • é a altura do elemento de área.

Passo 4

Vamos identificar e .
  • A distância da reta até um ponto é .
  • A altura é a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de integração. Aqui, está acima de entre e .
Então:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos dentro da integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 7

Avaliaremos as integrais de 0 a 1:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do volume:
Vamos achar um denominador comum, que é 60:
Somando:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos por :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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