Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 3 theta^2 ; 0 <= theta <= 2 pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva que está dada na forma polar por no intervalo . Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas em coordenadas polares e cálculo do comprimento de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva em termos de , e e são os limites de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Nossa função é , então:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:

Passo 5

A integral fica então:
Vamos fatorar dentro da raiz:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então:

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando :
Então:

Resposta

O comprimento da curva é . Se preferir uma aproximação numérica, aproximadamente unidades de comprimento.

Exercícios relacionados

Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
cal x' + tg(t) x = tg(t)
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 2 a * sen(theta).
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
x = -2.
Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral2^infty e^-5 x d x