Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva que está dada na forma polar por
no intervalo
. Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre curvas em coordenadas polares e cálculo do comprimento de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é a função que define a curva em termos de
, e
e
são os limites de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Nossa função é
, então:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Passo 5
A integral fica então:
Vamos fatorar
dentro da raiz:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então:
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando
:
Então:
Resposta
O comprimento da curva é
. Se preferir uma aproximação numérica, aproximadamente
unidades de comprimento.