Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral-infty^0 x e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma integral imprópria converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. O exercício que vamos resolver é:
integral-infty^0 x e^2 x , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite inferior é -infty, que é um ponto infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite e conhecer um pouco sobre integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria usando limites. Isso facilita na hora de calcular:
integral-infty^0 x e^2 x , dx = lima to -infty integrala^0 x e^2 x , dx
Agora, temos uma integral definida de a até 0, e depois vamos analisar o comportamento dela quando a tende a -infty.

Passo 3

Para resolver integral x e^2 x , dx, vamos usar integração por partes, que é uma técnica que funciona assim:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x (então, du = dx)
  • dv = e^2x , dx (integrando, v = 12 e^2x)
Aplicando a fórmula:
integral x e^2x , dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x , dx
= x2 e^2x - 14 e^2x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de a a 0:
lima to -infty [ x2 e^2x - 14 e^2x ]a^0
Calculando em 0:
02 e^0 - 14 e^0 = 0 - 14 = -14
Calculando em a:
a2 e^2a - 14 e^2a
Quando a to -infty, e^2a to 0 (porque a exponencial de um número muito negativo tende a zero). Portanto, a expressão em a tende a 0.
Então, a integral fica:
-14 - 0 = -14

Resposta

A integral imprópria é convergente e seu valor é -14.

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