Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma integral imprópria converge ou diverge e, se convergir, calcular o valor dela. O exercício que vamos resolver é:
Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite inferior é
, que é um ponto infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de limite e conhecer um pouco sobre integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria usando limites. Isso facilita na hora de calcular:
Agora, temos uma integral definida de
até
, e depois vamos analisar o comportamento dela quando
tende a
.
Passo 3
Para resolver
, vamos usar integração por partes, que é uma técnica que funciona assim:
Vamos escolher:
-
(então, ) -
(integrando, )
Aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Quando
,
(porque a exponencial de um número muito negativo tende a zero). Portanto, a expressão em
tende a
.
Então, a integral fica:
Resposta
A integral imprópria é convergente e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por
e
gira em torno das retas:
.
Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.