y' + y / (x ln x) = 1, x > 1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial para . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da equação na forma padrão . Aqui, temos:

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é dado por:
Então:

Passo 4

Para resolver a integral no expoente, fazemos a substituição , então . Assim:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do fator integrante:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 7

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto em relação a . Ou seja:

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :

Passo 9

Calculamos a integral usando integração por partes. Seja:
Então:

Passo 10

Substituindo de volta na equação:

Passo 11

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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