Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral0^9 d xraiz[3]x-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem que verificar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias que têm pontos problemáticos dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode estar com problemas. Olhando para , vemos que quando , o denominador se torna zero, o que pode causar uma descontinuidade ou infinito na integral. Isso significa que o ponto é um ponto onde a integral pode não ser bem definida, tornando-a uma integral imprópria.

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto problemático integral0^9 dxraiz[3]x-1 = integral0^1 dxraiz[3]x-1 + integral1^9 dxraiz[3]x-1 :
Agora, vamos examinar cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 4

Comecemos pela primeira parte: integral1^0 -duraiz[3]-u = integral0^1 duraiz[3]u = integral0^1 u^-1/3 du .
Fazendo a substituição 32(1)^2/3 - 32(0)^2/3 = 32 - 0 = 32 , então e quando varia de 0 a 1, varia de 1 a 0.
A integral fica:
A integral de é .
Avaliada de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: integral0^8 dvraiz[3]v = integral0^8 v^-1/3 dv .
Fazendo a substituição 32(8)^2/3 - 32(0)^2/3 = 32 times 4 - 0 = 6 , então e quando varia de 1 a 9, varia de 0 a 8.
A integral fica:
A integral de é .
Avaliada de 0 a 8:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
32 + 6 = 32 + 122 = 152 = 7,5

Resposta

A integral imprópria é convergente e seu valor é ou 7,5.

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(2) -12
(D) 3
(E) NRA