Determine se cada integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem que verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias que têm pontos problemáticos dentro do intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função pode estar com problemas. Olhando para
, vemos que quando
, o denominador se torna zero, o que pode causar uma descontinuidade ou infinito na integral. Isso significa que o ponto
é um ponto onde a integral pode não ser bem definida, tornando-a uma integral imprópria.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto problemático
:
Agora, vamos examinar cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 4
Comecemos pela primeira parte:
.
Fazendo a substituição
, então
e quando
varia de 0 a 1,
varia de 1 a 0.
A integral fica:
A integral de
é
.
Avaliada de 0 a 1:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Fazendo a substituição
, então
e quando
varia de 1 a 9,
varia de 0 a 8.
A integral fica:
A integral de
é
.
Avaliada de 0 a 8:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral imprópria
é convergente e seu valor é
ou 7,5.
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Encontre a altura do cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio
.
(*)
(4)
(D)
(E) NRA
(*)
(4)
(D)
(E) NRA
Sejam
diferenciáveis tais que
Se
, então
(A) 8
(B) -8
(2) -12
(D) 3
(E) NRA
(A) 8
(B) -8
(2) -12
(D) 3
(E) NRA