Identifique as cônicas e esboce seus gráficos, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação
e pede para identificar qual cônica ela representa. Nas cônicas, temos parabola, elipse, hipérbole e circunferência. Para descobrir qual é, vamos precisAR completar o quadrado e reescrever a equação de uma forma mais familiar. Vamos precisar de conhecimentos sobre fórmulas de cônicas e completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo. Vamos isolar os termos que envolvem
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Lembra que para completar o quadrado de uma expressão do tipo
, adicionamos e subtraímos
.
Aqui,
, então
. Então, adicionamos e subtraímos 9:
Passo 4
Simplificando a equação, temos:
Agora, vamos isolar o termo com
:
Passo 5
Observando a equação
, percebemos que estamos diante de uma parábola. A forma geral de uma parábola vertical é
, onde
é o vértice e
determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Passo 6
Identificando os elementos da parábola:
- Vértice:
- Valor de
indica que a parábola abre para baixo. - Foco:
- Diretriz: a linha que fica a uma distância
do vértice oposta à abertura. Portanto, a diretriz é
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico:
- Marque o vértice em
. - Desenhe o foco em
. - Trace a diretriz como uma linha horizontal em
. - Desenhe a parábola aberta para baixo, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.
Resposta
A equação
representa uma parábola com vértice em
, foco em
e diretriz na reta
. O gráfico da parábola está aberto para baixo.