Identifique as cônicas e esboce seus gráficos, marcando vértice(s) e foco(s), desenhando as assíntotas (hipérbole) e diretriz (parábola).
x^2-6 x+12 y=51

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para identificar qual cônica ela representa. Nas cônicas, temos parabola, elipse, hipérbole e circunferência. Para descobrir qual é, vamos precisAR completar o quadrado e reescrever a equação de uma forma mais familiar. Vamos precisar de conhecimentos sobre fórmulas de cônicas e completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo. Vamos isolar os termos que envolvem x^2 - 6x = -12y + 51 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 6x + 9 - 9 = -12y + 51 . Lembra que para completar o quadrado de uma expressão do tipo , adicionamos e subtraímos .
Aqui, , então . Então, adicionamos e subtraímos 9:

Passo 4

Simplificando a equação, temos:
(x - 3)^2 - 9 = -12y + 51
Agora, vamos isolar o termo com (x - 3)^2 = -12y + 60 :
(x - 3)^2 = -12(y - 5)

Passo 5

Observando a equação 4p = -12 Rightarrow p = -3 , percebemos que estamos diante de uma parábola. A forma geral de uma parábola vertical é , onde é o vértice e determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:

Passo 6

Identificando os elementos da parábola:
  • Vértice:
  • Valor de indica que a parábola abre para baixo.
  • Foco:
  • Diretriz: a linha que fica a uma distância do vértice oposta à abertura. Portanto, a diretriz é

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Marque o vértice em .
  2. Desenhe o foco em .
  3. Trace a diretriz como uma linha horizontal em .
  4. Desenhe a parábola aberta para baixo, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz.

Resposta

A equação representa uma parábola com vértice em , foco em e diretriz na reta . O gráfico da parábola está aberto para baixo.

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