Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto
com as operações
e
.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se um conjunto junto com certas operações forma um espaço vetorial. Aqui, o conjunto é
, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. As operações definidas são:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que essas operações devem satisfazer para que
, com essas operações, seja um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores (neste caso, pares ordenados) junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar. Para que seja um espaço vetorial, essas operações precisam satisfazer dez axiomas, como:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
- Elemento inverso da adição: Para todo vetor
, existe tal que - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar se as operações dadas satisfazem esses axiomas.
Passo 3
Verificando a Comutatividade da Adição:
Para qualquer
e
em
,
Então,
, satisfazendo a comutatividade.
Verificando a Associatividade da Adição:
Para quaisquer
,
e
,
Então, a associatividade também é satisfeita.
Verificando o Elemento Neutro da Adição:
Pelo enunciado, a adição sempre resulta em
, então
atua como elemento neutro.
Passo 4
Verificando o Elemento Inverso da Adição:
Para qualquer
,
Isso mostra que
é o inverso de
, satisfazendo o axioma do elemento inverso.
Verificando a Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
Vamos calcular ambos os lados da igualdade:
-
Lado Esquerdo:
-
Lado Direito:
Portanto, a distributividade é satisfeita.
Passo 5
Verificando a Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Vamos calcular ambos os lados:
-
Lado Esquerdo:
-
Lado Direito:
Claramente,
a menos que
. Portanto, este axioma n��o é satisfeito.
Passo 6
Conclusão:
Mesmo que algumas propriedades sejam satisfeitas, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro e inverso, e algumas das distributividades, o fato de que a distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeita para vetores diferentes de zero nos impede de considerar esse conjunto como um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações dadas de adição e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial.