Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto R^2 com as operações (a, b) oplus(c, d)=(0,0) e k odot(a, b)=(k a, k b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se um conjunto junto com certas operações forma um espaço vetorial. Aqui, o conjunto é R^2, que é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. As operações definidas são:
  • Adição: (a, b) oplus (c, d) = (0, 0)
  • Multiplicação por escalar: k odot (a, b) = (k a, k b)
Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que essas operações devem satisfazer para que R^2, com essas operações, seja um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores (neste caso, pares ordenados) junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar. Para que seja um espaço vetorial, essas operações precisam satisfazer dez axiomas, como:
  1. Comutatividade da adição: u oplus v = v oplus u
  2. Associatividade da adição: (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w)
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que v oplus 0 = v
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor v, existe -v tal que v oplus (-v) = 0
  5. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: k odot (u oplus v) = k odot u oplus k odot v
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (k + m) odot v = k odot v oplus m odot v
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalares: k odot (m odot v) = (k m) odot v
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 odot v = v
Vamos verificar se as operações dadas satisfazem esses axiomas.

Passo 3

Verificando a Comutatividade da Adição:
Para qualquer (a, b) e (c, d) em R^2,
(a, b) oplus (c, d) = (0, 0)
(c, d) oplus (a, b) = (0, 0)
Então, (a, b) oplus (c, d) = (c, d) oplus (a, b), satisfazendo a comutatividade.
Verificando a Associatividade da Adição:
Para quaisquer (a, b), (c, d) e (e, f),
[(a, b) oplus (c, d)] oplus (e, f) = (0, 0) oplus (e, f) = (0, 0)
(a, b) oplus [(c, d) oplus (e, f)] = (a, b) oplus (0, 0) = (0, 0)
Então, a associatividade também é satisfeita.
Verificando o Elemento Neutro da Adição:
Pelo enunciado, a adição sempre resulta em (0, 0), então (0, 0) atua como elemento neutro.

Passo 4

Verificando o Elemento Inverso da Adição:
Para qualquer (a, b),
(a, b) oplus (-a, -b) = (0, 0)
Isso mostra que (-a, -b) é o inverso de (a, b), satisfazendo o axioma do elemento inverso.
Verificando a Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
Vamos calcular ambos os lados da igualdade:
  • Lado Esquerdo:
    k odot [(a, b) oplus (c, d)] = k odot (0, 0) = (k cdot 0, k cdot 0) = (0, 0)
  • Lado Direito:
    k odot (a, b) oplus k odot (c, d) = (k a, k b) oplus (k c, k d) = (0, 0)
Portanto, a distributividade é satisfeita.

Passo 5

Verificando a Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Vamos calcular ambos os lados:
  • Lado Esquerdo:
    (k + m) odot (a, b) = ((k + m) a, (k + m) b)
  • Lado Direito:
    k odot (a, b) oplus m odot (a, b) = (k a, k b) oplus (m a, m b) = (0, 0)
Claramente, (k + m) odot (a, b) neq (k odot (a, b)) oplus (m odot (a, b)) a menos que (a, b) = (0, 0). Portanto, este axioma n��o é satisfeito.

Passo 6

Conclusão:
Mesmo que algumas propriedades sejam satisfeitas, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro e inverso, e algumas das distributividades, o fato de que a distributividade em relação à adição de escalares não é satisfeita para vetores diferentes de zero nos impede de considerar esse conjunto como um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto R^2 com as operações dadas de adição e multiplicação por escalar não é um espaço vetorial.

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