Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto dos números reais positivos com as operações
e
.
O conjunto dos números reais positivos com as operações
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se um conjunto, junto com certas operações de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. O conjunto em questão são os números reais positivos. As operações são definidas assim: para adicionar dois números, a gente multiplica eles (
) e para multiplicar um número real positivo
por um escalar
, a gente eleva
à potência
(
). Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial para verificar se essas operações satisfazem todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações — adição de vetores e multiplicação por escalares —, satisfazem oito propriedades fundamentais chamadas de axiomas de vetores. Essas propriedades garantem que a estrutura se comporte de maneira consistente e previsível, como fazemos nas operações com vetores em álgebra linear.
Passo 3
Vamos listar os axiomas que precisam ser satisfeitos para que o conjunto seja considerado um espaço vetorial:
- Fechamento sob a adição: a soma de dois vetores no conjunto também está no conjunto.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do elemento neutro da adição: existe um vetor
tal que para todo . - Existência do inverso aditivo: para todo
, existe um vetor tal que . - Fechamento sob a multiplicação por escalar: a multiplicação de um vetor por um escalar resulta em outro vetor no conjunto.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas com as operações dadas.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar o fechamento sob a adição. A adição definida é
. Como estamos trabalhando com números reais positivos, a multiplicação de dois números positivos resulta em outro número positivo. Portanto, a operação está fechada nesse conjunto.
Passo 5
Agora, vamos checar a comutatividade da adição. Isso significa que
deve ser igual a
. Como
na multiplicação real, essa propriedade é satisfeita.
Passo 6
Em seguida, a associatividade da adição precisa ser verificada. Isso quer dizer que
deve ser igual a
. Calculando:
A multiplicação real é associativa, então essa propriedade também é satisfeita.
Passo 7
Vamos verificar a existência do elemento neutro da adição. Precisa existir um número real positivo
tal que
. No caso,
. Mas queremos que isso seja igual a
, o que só é possível se
. Contudo, nosso conjunto é de números positivos, então
não está incluído. Portanto, não existe um elemento neutro da adição nesse conjunto.
Passo 8
Mesmo já tendo identificado um problema, vamos continuar para entender melhor. A existência do inverso aditivo exige que para todo
, exista um
tal que
. Mas no nosso caso, a operação é multiplicação, então precisaríamos que
. Porém, como estamos trabalhando com números positivos,
não pertence ao conjunto. Além disso,
só ocorre se pelo menos um dos números for zero, o que não está no conjunto.
Passo 9
Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar. A operação definida é
. Precisamos que para qualquer escalar
e qualquer número
positivo,
também seja positivo, o que é verdade. Então, o fechamento sob a multiplicação por escalar é satisfeito.
Passo 10
Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. Substituindo as operações:
E
Para essas duas expressões serem iguais, precisaríamos que
, o que é verdade pela propriedade das potências. Então, essa propriedade é satisfeita.
Passo 11
Agora, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. Substituindo:
E
Aqui também, as expressões são iguais graças às propriedades das potências. Então, essa propriedade também é satisfeita.
Passo 12
Vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalares:
. Substituindo:
E
As duas expressões são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
Passo 13
Por último, a existência do elemento neutro da multiplicação por escalar:
. Substituindo:
Isso satisfaz a propriedade.
Resposta
O conjunto dos números reais positivos, com as operações definidas de adição como multiplicação e multiplicação por escalar como potenciação, não é um espaço vetorial porque não satisfaz todas as propriedades necessárias, especificamente a existência do elemento neutro da adição e dos inversos aditivos.