Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto dos números reais positivos com as operações a oplus b=a b e k odot a=a^k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para verificar se um conjunto, junto com certas operações de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. O conjunto em questão são os números reais positivos. As operações são definidas assim: para adicionar dois números, a gente multiplica eles ( a oplus b = a cdot b) e para multiplicar um número real positivo a por um escalar k, a gente eleva a à potência k ( k odot a = a^k). Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial para verificar se essas operações satisfazem todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, junto com duas operações — adição de vetores e multiplicação por escalares —, satisfazem oito propriedades fundamentais chamadas de axiomas de vetores. Essas propriedades garantem que a estrutura se comporte de maneira consistente e previsível, como fazemos nas operações com vetores em álgebra linear.

Passo 3

Vamos listar os axiomas que precisam ser satisfeitos para que o conjunto seja considerado um espaço vetorial:
  1. Fechamento sob a adição: a soma de dois vetores no conjunto também está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: a oplus b = b oplus a.
  3. Associatividade da adição: (a oplus b) oplus c = a oplus (b oplus c).
  4. Existência do elemento neutro da adição: existe um vetor 0 tal que a oplus 0 = a para todo a.
  5. Existência do inverso aditivo: para todo a, existe um vetor -a tal que a oplus (-a) = 0.
  6. Fechamento sob a multiplicação por escalar: a multiplicação de um vetor por um escalar resulta em outro vetor no conjunto.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: k odot (a oplus b) = (k odot a) oplus (k odot b).
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (k + m) odot a = (k odot a) oplus (m odot a).
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: k odot (m odot a) = (k cdot m) odot a.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 odot a = a.
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar o fechamento sob a adição. A adição definida é a oplus b = a cdot b. Como estamos trabalhando com números reais positivos, a multiplicação de dois números positivos resulta em outro número positivo. Portanto, a operação está fechada nesse conjunto.

Passo 5

Agora, vamos checar a comutatividade da adição. Isso significa que a oplus b deve ser igual a b oplus a. Como a cdot b = b cdot a na multiplicação real, essa propriedade é satisfeita.

Passo 6

Em seguida, a associatividade da adição precisa ser verificada. Isso quer dizer que (a oplus b) oplus c deve ser igual a a oplus (b oplus c). Calculando:
(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)
A multiplicação real é associativa, então essa propriedade também é satisfeita.

Passo 7

Vamos verificar a existência do elemento neutro da adição. Precisa existir um número real positivo 0 tal que a oplus 0 = a. No caso, a oplus 0 = a cdot 0 = 0. Mas queremos que isso seja igual a a, o que só é possível se a = 0. Contudo, nosso conjunto é de números positivos, então 0 não está incluído. Portanto, não existe um elemento neutro da adição nesse conjunto.

Passo 8

Mesmo já tendo identificado um problema, vamos continuar para entender melhor. A existência do inverso aditivo exige que para todo a, exista um -a tal que a oplus (-a) = 0. Mas no nosso caso, a operação é multiplicação, então precisaríamos que a cdot (-a) = 0. Porém, como estamos trabalhando com números positivos, -a não pertence ao conjunto. Além disso, a cdot b = 0 só ocorre se pelo menos um dos números for zero, o que não está no conjunto.

Passo 9

Agora, vamos olhar para a multiplicação por escalar. A operação definida é k odot a = a^k. Precisamos que para qualquer escalar k e qualquer número a positivo, a^k também seja positivo, o que é verdade. Então, o fechamento sob a multiplicação por escalar é satisfeito.

Passo 10

Vamos verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: k odot (a oplus b) = (k odot a) oplus (k odot b). Substituindo as operações:
k odot (a cdot b) = (a cdot b)^k
E
(k odot a) oplus (k odot b) = a^k cdot b^k
Para essas duas expressões serem iguais, precisaríamos que (a cdot b)^k = a^k cdot b^k, o que é verdade pela propriedade das potências. Então, essa propriedade é satisfeita.

Passo 11

Agora, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (k + m) odot a = (k odot a) oplus (m odot a). Substituindo:
(k + m) odot a = a^k + m
E
(k odot a) oplus (m odot a) = a^k cdot a^m = a^k + m
Aqui também, as expressões são iguais graças às propriedades das potências. Então, essa propriedade também é satisfeita.

Passo 12

Vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalares: k odot (m odot a) = (k cdot m) odot a. Substituindo:
k odot (a^m) = (a^m)^k = a^m cdot k
E
(k cdot m) odot a = a^k cdot m
As duas expressões são iguais, então essa propriedade é satisfeita.

Passo 13

Por último, a existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 odot a = a. Substituindo:
1 odot a = a^1 = a
Isso satisfaz a propriedade.

Resposta

O conjunto dos números reais positivos, com as operações definidas de adição como multiplicação e multiplicação por escalar como potenciação, não é um espaço vetorial porque não satisfaz todas as propriedades necessárias, especificamente a existência do elemento neutro da adição e dos inversos aditivos.

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