Mostre que a representação de números normalizados no IEE754-64bits pode ser escrita também na forma
em que
e
são inteiros satisfazendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que os números normalizados no padrão IEEE754 de 64 bits podem ser representados na forma
. Para isso, vamos precisar entender como esses números são estruturados no IEEE754, incluindo como funcionam a mantissa e o expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a representação de um número normalizado no padrão IEEE754 de 64 bits. Esse padrão usa 64 bits divididos da seguinte forma:
- 1 bit para o sinal (0 para positivo, 1 para negativo).
- 11 bits para o expoente.
- 52 bits para a mantissa.
Números normalizados têm a forma:
Aqui,
é o bit de sinal,
é a parte fracionária da mantissa, e
é o valor do expoente armazenado.
Passo 3
Agora, vamos focar na mantissa e no expoente. A mantissa armazenada tem 52 bits, mas na verdade, para números normalizados, existe um 1 implícito antes da vírgula binária. Então, a mantissa completa é
, onde
são os 52 bits armazenados.
O expoente
armazenado é um número com bias 1023. Isso significa que o expoente real
é dado por:
E sabe-se que, para números normalizados,
varia de -1022 a 1023.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão do número usando
e a mantissa completa:
Agora, queremos expressar isso na forma
. Para isso, vamos ajustar a mantissa:
Como
é um número entre 1 e 2, multiplicando por
temos:
E
é um número inteiro porque
tem 52 bits, representando frações de potências de 2.
Resposta
Portanto, a representação de números normalizados no IEEE754-64 bits pode ser escrita como:
onde
e
são inteiros que satisfazem
e
.