Mostre que a representação de números normalizados no IEE754-64bits pode ser escrita também na forma
x=M * 2^e-52
em que e e M são inteiros satisfazendo -1022 <= e <= 1023 e 2^52 <=|M|<2^53.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que os números normalizados no padrão IEEE754 de 64 bits podem ser representados na forma . Para isso, vamos precisar entender como esses números são estruturados no IEEE754, incluindo como funcionam a mantissa e o expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a representação de um número normalizado no padrão IEEE754 de 64 bits. Esse padrão usa 64 bits divididos da seguinte forma:
  • 1 bit para o sinal (0 para positivo, 1 para negativo).
  • 11 bits para o expoente.
  • 52 bits para a mantissa.
Números normalizados têm a forma:
x = (-1)^s times 1m times 2^E - 1023
Aqui, é o bit de sinal, é a parte fracionária da mantissa, e é o valor do expoente armazenado.

Passo 3

Agora, vamos focar na mantissa e no expoente. A mantissa armazenada tem 52 bits, mas na verdade, para números normalizados, existe um 1 implícito antes da vírgula binária. Então, a mantissa completa é e = E - 1023 , onde são os 52 bits armazenados.
O expoente armazenado é um número com bias 1023. Isso significa que o expoente real é dado por:
E sabe-se que, para números normalizados, varia de -1022 a 1023.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão do número usando x = (-1)^s times (1m) times 2^e e a mantissa completa:
M = (1m) times 2^52
Agora, queremos expressar isso na forma 2^52 <= M < 2^53 . Para isso, vamos ajustar a mantissa:
Como é um número entre 1 e 2, multiplicando por temos:
E é um número inteiro porque tem 52 bits, representando frações de potências de 2.

Resposta

Portanto, a representação de números normalizados no IEEE754-64 bits pode ser escrita como:
x = M times 2^e - 52
onde e são inteiros que satisfazem e .

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