Determine, em cada item abaixo, se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto R^2 com as operações (a, b) oplus(c, d)=(a+c, b+d) e k odot(a, b)=(k a, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial. Isso envolve entender os espaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver isso, precisamos verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são atendidas por essas operações específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de possuir uma operação de adição, permite a multiplicação por escalar, e essas operações seguem certas regras (axiomas). Alguns desses axiomas incluem a existência de um elemento neutro, a existência de inversos, a comutatividade da adição, entre outros.

Passo 3

Vamos começar verificando o axioma do elemento neutro. Devemos encontrar um vetor (a, b) oplus (0, 0) = (a+0, b+0) = (a, b) tal que, para qualquer vetor em , .
Aplicando a operação de adição:
Então, o elemento neutro existe e é .

Passo 4

Agora, vamos verificar o axioma do inverso aditivo. Para cada vetor (a, b) oplus (-a, -b) = (0, 0) , deve existir um vetor (a + (-a), b + (-b)) = (0, 0) tal que:
Aplicando a operação:
Portanto, o inverso aditivo existe.

Passo 5

Vamos conferir a comutatividade da adição. Precisamos ver se:
(a, b) oplus (c, d) = (c, d) oplus (a, b)
Calculando ambos os lados:
(a + c, b + d) = (c + a, d + b)
Como a adição dos números reais é comutativa ( ), a operação também é comutativa.

Passo 6

Agora, é hora de verificar os axiomas relacionados à multiplicação por escalar. Primeiramente, vamos ver se:
1 odot (a, b) = (a, b)
Calculando:
1 odot (a, b) = (1 cdot a, 0) = (a, 0)
Aqui, esperamos obter , mas estamos obtendo . Isso significa que o axioma não é satisfeito.

Passo 7

Além disso, podemos verificar outro axioma da multiplicação por escalar:
k odot (a, b) + l odot (a, b) = (k + l) odot (a, b)
Calculando o lado esquerdo:
(k a, 0) + (l a, 0) = ((k + l)a, 0)
E o lado direito:
(k + l) odot (a, b) = ((k + l)a, 0)
Neste caso, o axioma é satisfeito, mas como já encontramos uma violação no axioma anterior, isso já é suficiente para concluir.

Resposta

Não, o conjunto com as operações especificadas não forma um espaço vetorial, pois não satisfaz todos os axiomas necessários, especificamente o axioma que garante que .

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