Determine se cada item abaixo é verdadeiro ou falso: O conjunto é um intervalo aberto de .
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um intervalo aberto dos números reais. Vamos precisar usar conceitos de inequações de segundo grau e entender o que é um intervalo aberto para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a inequação . Para isso, precisamos encontrar os valores de que tornam essa expressão maior que zero. Uma boa maneira de resolver isso é encontrando as raízes da equação quadrática correspondente .
Passo 3
Para achar as raízes, vamos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Então, as raízes são:
Passo 4
Agora que temos as raízes e , vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos para testar onde a inequação é verdadeira:
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo:
Para , por exemplo :
Para , por exemplo :
Para , por exemplo :
Passo 5
Com isso, concluímos que a inequação é verdadeira para e para . Portanto, o conjunto solução é a união desses dois intervalos:
Cada um desses é um intervalo aberto, mas juntos não formam um único intervalo aberto.