Determine se cada item abaixo é verdadeiro ou falso:
d O conjunto {x pertencente a R ; x^2 - x - 2 > 0} é um intervalo aberto de I R.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto {x pertencente a R ; x^2 - x - 2 > 0} é um intervalo aberto dos números reais. Vamos precisar usar conceitos de inequações de segundo grau e entender o que é um intervalo aberto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação . Para isso, precisamos encontrar os valores de x que tornam essa expressão maior que zero. Uma boa maneira de resolver isso é encontrando as raízes da equação quadrática correspondente .

Passo 3

Para achar as raízes, vamos usar a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Então, as raízes são:

Passo 4

Agora que temos as raízes e x = 2, vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos para testar onde a inequação é verdadeira:
  1. x > 2
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo:
  • Para , por exemplo :
  • Para , por exemplo x = 0:
  • Para x > 2, por exemplo :

Passo 5

Com isso, concluímos que a inequação é verdadeira para e para x > 2. Portanto, o conjunto solução é a união desses dois intervalos:
Cada um desses é um intervalo aberto, mas juntos não formam um único intervalo aberto.

Resposta

Falso.

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