Resolva as inequações:
(c) (x² + 6x + 9) / (x³ - 9x) ≥ 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos resolver a inequação:
Aqui, estamos lidando com uma inequação racional, que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a fração é maior ou igual a zero, considerando os pontos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero, pois eles são críticos para determinar os intervalos da solução.

Passo 2

Vamos começar simplificando o numerador e o denominador.
Numerador:
Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Denominador:
Podemos fatorar:
Então, a inequação fica:

Passo 3

Simplificando a fração, percebemos que aparece no numerador e no denominador:
Agora, a inequação é:

Passo 4

Vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de que fazem o numerador ou o denominador igual a zero:
Numerador:
Denominador:
Então, os pontos críticos são , e . Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos:

Passo 5

Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo. Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na expressão simplificada :
  1. Intervalo (por exemplo, ):
  2. Intervalo (por exemplo, ):
  3. Intervalo (por exemplo, ):
  4. Intervalo (por exemplo, ):

Passo 6

Agora, consideramos os pontos críticos , e :
  • : O numerador é zero, então a fração é zero. Como a inequação é maior ou igual a zero ( ), incluímos .
  • e : O denominador é zero, o que faz a fração ser indefinida. Portanto, não incluímos esses pontos na solução.

Passo 7

Resumindo os sinais:
  • : Fração negativa
  • : Fração positiva
  • : Fração negativa
  • : Fração positiva
Como buscamos onde a fração é maior ou igual a zero, os intervalos que satisfazem são:

Resposta

A solução da inequação é:

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