Resolva as inequações:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos resolver a inequação:
Aqui, estamos lidando com uma inequação racional, que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a fração é maior ou igual a zero, considerando os pontos onde o numerador ou o denominador são iguais a zero, pois eles são críticos para determinar os intervalos da solução.
Passo 2
Vamos começar simplificando o numerador e o denominador.
Numerador:
Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Denominador:
Podemos fatorar:
Então, a inequação fica:
Passo 3
Simplificando a fração, percebemos que
aparece no numerador e no denominador:
Agora, a inequação é:
Passo 4
Vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de
que fazem o numerador ou o denominador igual a zero:
Numerador:
Denominador:
Então, os pontos críticos são
,
e
. Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo. Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e substituímos na expressão simplificada
:
-
Intervalo
(por exemplo, ): -
Intervalo
(por exemplo, ): -
Intervalo
(por exemplo, ): -
Intervalo
(por exemplo, ):
Passo 6
Agora, consideramos os pontos críticos
,
e
:
-
: O numerador é zero, então a fração é zero. Como a inequação é maior ou igual a zero ( ), incluímos . -
e : O denominador é zero, o que faz a fração ser indefinida. Portanto, não incluímos esses pontos na solução.
Passo 7
Resumindo os sinais:
-
: Fração negativa -
: Fração positiva -
: Fração negativa -
: Fração positiva
Como buscamos onde a fração é maior ou igual a zero, os intervalos que satisfazem são:
Resposta
A solução da inequação é: