Mostre que, dados
, tem-se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para quaisquer números reais
e
(sendo
), a expressão
é igual a
. Para isso, vamos usar algumas propriedades de raízes cúbicas e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para a diferença de cubos. A diferença de dois cubos
pode ser fatorada assim:
Essa fórmula será útil para manipular o denominador da nossa expressão.
Passo 3
No nosso problema, temos
e
dentro de raízes cúbicas. Vamos chamar
e
. Assim,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da diferença de cubos com
e
, temos:
Substituindo
por
e
por
:
Passo 5
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Queremos a expressão
. Usando a equação que encontramos no passo anterior, vamos dividir ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que: