Mostre que, dados , tem-se .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para quaisquer números reais e (sendo ), a expressão é igual a . Para isso, vamos usar algumas propriedades de raízes cúbicas e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para a diferença de cubos. A diferença de dois cubos pode ser fatorada assim:
Essa fórmula será útil para manipular o denominador da nossa expressão.

Passo 3

No nosso problema, temos e dentro de raízes cúbicas. Vamos chamar e . Assim, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula da diferença de cubos com e , temos:
Substituindo por e por :

Passo 5

Agora, vamos isolar dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 6

Queremos a expressão . Usando a equação que encontramos no passo anterior, vamos dividir ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determine se cada item abaixo é verdadeiro ou falso:
O conjunto é um intervalo aberto de .
Resolva as inequações:
Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(b) ,
Classifique a função como função par, função ímpar ou nenhum destes casos:
(a ) ,