Mostre que, dados x, a pertencem a R, x diferente de a, tem-se (raiz(cubica(x)) - raiz(cubica(a))) / (x - a) = 1 / (raiz(cubica(x))^2 + raiz(cubica(a * x)) + raiz(cubica(a))^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, para quaisquer números reais e (sendo ), a expressão é igual a . Para isso, vamos usar algumas propriedades de raízes cúbicas e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para a diferença de cubos. A diferença de dois cubos pode ser fatorada assim:
Essa fórmula será útil para manipular o denominador da nossa expressão.

Passo 3

No nosso problema, temos e dentro de raízes cúbicas. Vamos chamar e . Assim, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula da diferença de cubos com e , temos:
Substituindo por e por :

Passo 5

Agora, vamos isolar dividindo ambos os lados da equação por :

Passo 6

Queremos a expressão . Usando a equação que encontramos no passo anterior, vamos dividir ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados