Determine se cada matriz abaixo é invertível e se for calcule a sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as matrizes A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , B = 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 e são invertíveis. Se forem, a gente calcula a inversa de cada uma delas. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante e a própria definição de matriz inversa.
As matrizes que temos são:
Vamos resolver para cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 1 cdot 0 - 1 cdot 1 cdot 0 - 0 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1 é invertível. Para uma matriz ser invertível, o determinante dela deve ser diferente de zero.
O determinante de uma matriz det(A) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Para a matriz :
Simplificando:
Como , a matriz é invertível.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . A fórmula para a inversa de uma matriz Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) é:
Onde C = 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 é a matriz que sobra após remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de adj(A) = C^T = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 .