Determine se cada matriz abaixo é invertível e se for calcule a sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as matrizes e são invertíveis. Se forem, a gente calcula a inversa de cada uma delas. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante e a própria definição de matriz inversa.
As matrizes que temos são:
Vamos resolver para cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Para uma matriz ser invertível, o determinante dela deve ser diferente de zero.
O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Para a matriz :
Simplificando:
Como , a matriz é invertível.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa da matriz . A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de .
Para cada elemento de , o cofator é dado por:
Onde é a matriz que sobra após remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Vamos calcular os cofatores:
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz é invertível seguindo os mesmos passos.
Primeiro, calculamos o determinante de :
Simplificando:
Como , a matriz também é invertível.
Passo 5
Vamos agora calcular a inversa da matriz . Usando a mesma fórmula: