Determine se cada matriz abaixo é invertível e se for calcule a sua inversa. A=[lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ], B=[ccc 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as matrizes A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , B = 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 e são invertíveis. Se forem, a gente calcula a inversa de cada uma delas. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante e a própria definição de matriz inversa.
As matrizes que temos são:
Vamos resolver para cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 1 cdot 0 - 1 cdot 1 cdot 0 - 0 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1 é invertível. Para uma matriz ser invertível, o determinante dela deve ser diferente de zero.
O determinante de uma matriz det(A) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Para a matriz :
Simplificando:
Como , a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . A fórmula para a inversa de uma matriz Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) é:
C11 = (-1)^1+1 cdot det 1 & 0 1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1
Onde C12 = (-1)^1+2 cdot det 1 & 0 0 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -1 é a adjunta de C13 = (-1)^1+3 cdot det 1 & 1 0 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 , que é a transposta da matriz dos cofatores de C21 = (-1)^2+1 cdot det 0 & 1 1 & 1 = -1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de C22 = (-1)^2+2 cdot det 1 & 1 0 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 .
Para cada elemento C23 = (-1)^2+3 cdot det 1 & 0 0 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -1 de C31 = (-1)^3+1 cdot det 0 & 1 1 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 , o cofator C32 = (-1)^3+2 cdot det 1 & 1 1 & 0 = -1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1 é dado por:
C33 = (-1)^3+3 cdot det 1 & 0 1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1
Onde C = 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 é a matriz que sobra após remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de adj(A) = C^T = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 .
Vamos calcular os cofatores:
A^-1 = 11 cdot 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz det(B) = 0 cdot det 1 & 0 1 & 1 - 0 cdot det 1 & 0 -1 & 1 + 1 cdot det 1 & 1 -1 & 1 é invertível seguindo os mesmos passos.
Primeiro, calculamos o determinante de det(B) = 0 - 0 + 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = 1 cdot (1 + 1) = 2 :
Simplificando:
Como , a matriz também é invertível.

Passo 5

Vamos agora calcular a inversa da matriz B^-1 = 1det(B) cdot adj(B) . Usando a mesma fórmula:
C11 = (-1)^1+1 cdot det 1 & 0 1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores de C12 = (-1)^1+2 cdot det 1 & 0 -1 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot (-1)) = -1 .
Calculando os cofatores para cada elemento de C13 = (-1)^1+3 cdot det 1 & 1 -1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = 2 :
C21 = (-1)^2+1 cdot det 0 & 1 1 & 1 = -1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1
C22 = (-1)^2+2 cdot det 0 & 1 -1 & 1 = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = 1
C23 = (-1)^2+3 cdot det 0 & 1 -1 & 1 = -1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-1)) = -1
C31 = (-1)^3+1 cdot det 0 & 0 1 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - 0 cdot 1) = 0
C32 = (-1)^3+2 cdot det 0 & 1 1 & 0 = -1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1
C33 = (-1)^3+3 cdot det 0 & 0 1 & 1 = 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) = 0
C = 1 & -1 & 2 1 & 1 & -1 0 & 1 & 0
adj(B) = C^T = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 2 & -1 & 0
B^-1 = 12 cdot 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 12 1 & -12 & 0
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa é:

Resposta

Ambas as matrizes A^-1 = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 e B^-1 = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 12 1 & -12 & 0 são invertíveis.
A inversa da matriz é:
E a inversa da matriz é:

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