Determine se cada matriz abaixo é invertível e se for calcule a sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as matrizes e são invertíveis. Se forem, a gente calcula a inversa de cada uma delas. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante e a própria definição de matriz inversa.
As matrizes que temos são:
Vamos resolver para cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Para uma matriz ser invertível, o determinante dela deve ser diferente de zero.
O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Para a matriz :
Simplificando:
Como , a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa da matriz . A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de .
Para cada elemento de , o cofator é dado por:
Onde é a matriz que sobra após remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Vamos calcular os cofatores:
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz é invertível seguindo os mesmos passos.
Primeiro, calculamos o determinante de :
Simplificando:
Como , a matriz também é invertível.

Passo 5

Vamos agora calcular a inversa da matriz . Usando a mesma fórmula:
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores de .
Calculando os cofatores para cada elemento de :
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa é:

Resposta

Ambas as matrizes e são invertíveis.
A inversa da matriz é:
E a inversa da matriz é:

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz dada por .
(b) Decidir se é ou não invertível.
© * O determinante da matriz obtida de após serem realizadas as seguintes operações: .
(d) Decidir se a matriz é ou não invertível.
Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
Seja a matriz
(a) Determine o polinômio , onde é a matriz identidade de ordem 3 e .
(b) Verifique que , onde 0 é a matriz nula de ordem 3 .
© Use o item anterior para calcular a inversa de .
Calcule: