Seja
uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz
dada por
.
(b) Decidir se
é ou não invertível.
© * O determinante da matriz
obtida de
após serem realizadas as seguintes operações:
.
(d) Decidir se a matriz
é ou não invertível.
(a) O determinante da matriz
(b) Decidir se
© * O determinante da matriz
(d) Decidir se a matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre determinantes de matrizes e propriedades relacionadas. Vamos precisar usar conceitos de determinantes, matrizes inversas, transpostas e operações com linhas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Determinante da matriz
.
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Além disso, o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, e o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original.
Sabemos que
.
Então:
Porque multiplicar uma matriz por um escalar
aumenta o determinante por
, onde
é a ordem da matriz (neste caso, 5).
Agora, calculamos cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 3
Parte (b): Decidir se
é ou não invertível.
Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Da parte (a), vimos que
, que é diferente de zero. Portanto,
é invertível.
Passo 4
Parte ©: Determinante da matriz
obtida a partir de
após certas operações com linhas.
As operações com linhas afetam o determinante da seguinte maneira:
- Trocar duas linhas multiplica o determinante por
. - Multiplicar uma linha por um escalar
multiplica o determinante por . - Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
As operações realizadas são:
-
: troca de linhas → . -
: adição de múltiplo de linha → permanece igual. -
: multiplicação da linha por → anterior.
Aplicando essas mudanças:
Passo 5
Parte (d): Decidir se a matriz
é ou não invertível.
Para uma matriz ser invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando o determinante de
:
Como
, a matriz
é invertível.
Resposta
(a)
(b)
é invertível.
©
(d)
é invertível.