Seja uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz dada por .
(b) Decidir se é ou não invertível.
© * O determinante da matriz obtida de após serem realizadas as seguintes operações: .
(d) Decidir se a matriz é ou não invertível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre determinantes de matrizes e propriedades relacionadas. Vamos precisar usar conceitos de determinantes, matrizes inversas, transpostas e operações com linhas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Determinante da matriz .
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Além disso, o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, e o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original.
Sabemos que .
Então:
Porque multiplicar uma matriz por um escalar aumenta o determinante por , onde é a ordem da matriz (neste caso, 5).
Agora, calculamos cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 3

Parte (b): Decidir se é ou não invertível.
Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Da parte (a), vimos que , que é diferente de zero. Portanto, é invertível.

Passo 4

Parte ©: Determinante da matriz obtida a partir de após certas operações com linhas.
As operações com linhas afetam o determinante da seguinte maneira:
  1. Trocar duas linhas multiplica o determinante por .
  2. Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por .
  3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
As operações realizadas são:
  • : troca de linhas → .
  • : adição de múltiplo de linha → permanece igual.
  • : multiplicação da linha por anterior.
Aplicando essas mudanças:

Passo 5

Parte (d): Decidir se a matriz é ou não invertível.
Para uma matriz ser invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando o determinante de :
Como , a matriz é invertível.

Resposta

(a)
(b) é invertível.
©
(d) é invertível.

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(polinômios de grau menor ou igual a 2)
Determine se cada matriz abaixo é invertível e se for calcule a sua inversa.
Seja a matriz
(a) Determine o polinômio , onde é a matriz identidade de ordem 3 e .
(b) Verifique que , onde 0 é a matriz nula de ordem 3 .
© Use o item anterior para calcular a inversa de .