Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -3 , pede-se:
(a) O determinante da matriz P dada por P=4 A^-1 A^T.
(b) Decidir se P é ou não invertível.
© * O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações: L3 long<=ftrightarrow L2 ; L1 longrightarrow L1+2 L5 ; L4 longrightarrow-3 L4.
(d) Decidir se a matriz Q=A A^T é ou não invertível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre determinantes de matrizes e propriedades relacionadas. Vamos precisar usar conceitos de determinantes, matrizes inversas, transpostas e operações com linhas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Determinante da matriz det(P) = det(4 A^-1 A^T) = 4^5 cdot det(A^-1) cdot det(A^T) .
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. Além disso, o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, e o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original.
Sabemos que det(A^-1) = 1det(A) = 1-3 .
Então:
det(A^T) = det(A) = -3
Porque multiplicar uma matriz por um escalar det(P) = 4^5 cdot (1-3) cdot (-3) = 4^5 cdot -3-3 = 4^5 cdot 1 = 1024 aumenta o determinante por , onde é a ordem da matriz (neste caso, 5).
Agora, calculamos cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 3

Parte (b): Decidir se é ou não invertível.
Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Da parte (a), vimos que , que é diferente de zero. Portanto, é invertível.

Passo 4

Parte ©: Determinante da matriz det(B) = (-1) cdot det(A) cdot (-3) = (-1) cdot (-3) cdot (-3) = -9 obtida a partir de após certas operações com linhas.
As operações com linhas afetam o determinante da seguinte maneira:
  1. Trocar duas linhas multiplica o determinante por .
  2. Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por .
  3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
As operações realizadas são:
  • : troca de linhas → .
  • : adição de múltiplo de linha → permanece igual.
  • : multiplicação da linha por anterior.
Aplicando essas mudanças:

Passo 5

Parte (d): Decidir se a matriz det(Q) = det(A A^T) = det(A) cdot det(A^T) = det(A)^2 = (-3)^2 = 9 é ou não invertível.
Para uma matriz ser invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando o determinante de :
Como , a matriz é invertível.

Resposta

(a)
(b) é invertível.
©
(d) é invertível.

Exercícios relacionados