Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte matriz A = 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 :
O exercício pede para a gente determinar o polinômio , onde é a matriz identidade de ordem 3. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e polinômios característicos. Vamos precisar calcular o determinante de uma matriz 3x3 e entender como montar o polinômio característico.
Multiplicando a identidade pelo escalar e subtraindo a matriz , temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(xI3 - A) = (x-1)[(x)(x-1) - (-1)(-1)] - (-1)[(-1)(x-1) - (-1)(0)] + 1[(-1)(-1) - (x)(0)] . Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vou usar a regra de Laplace aqui:
(x-1)[x(x-1) - 1] = (x-1)(x^2 - x - 1)
Vamos calcular cada parte separadamente:
Primeiro termo:
-(-1)[-x + 1] = (x - 1)
Segundo termo:
1[1 - 0] = 1
Terceiro termo:
det(xI3 - A) = (x-1)(x^2 - x - 1) + (x - 1) + 1
Agora, somando tudo:
(x-1)(x^2 - x - 1) = x^3 - x^2 - x - x^2 + x + 1 = x^3 - 2x^2 + 1
Vamos expandir o primeiro termo:
det(xI3 - A) = x^3 - 2x^2 + 1 + x - 1 + 1 = x^3 - 2x^2 + x + 1
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Portanto, o polinômio característico é:
p(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1
Passo 5
Agora, vamos para o item (b) que pede para verificar que p(A) = A^3 - 2A^2 + A + I3 = 0 , onde A^2 = A cdot A = 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 cdot 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 = 2 & 0 & -1 1 & 2 & 0 1 & 1 & 2 é a matriz nula de ordem 3. Isso significa que se substituirmos a matriz A^3 = A cdot A^2 = 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 cdot 2 & 0 & -1 1 & 2 & 0 1 & 1 & 2 = 2 & 1 & -3 3 & 1 & 1 2 & 3 & 2 no polinômio p(A) = A^3 - 2A^2 + A + I3 = 2 & 1 & -3 3 & 1 & 1 2 & 3 & 2 - 2 cdot 2 & 0 & -1 1 & 2 & 0 1 & 1 & 2 + 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 + 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , o resultado será a matriz toda de zeros.