Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos que verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é dada por
Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é . Assim,

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Aqui, usamos que a derivada de é e a derivada de é :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 6

Vamos somar as segundas derivadas parciais encontradas:

Resposta

A soma das segundas derivadas resulta em zero, o que mostra que a função satisfaz a equação de Laplace. Portanto, ela é uma solução da equação .

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