Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos que verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é dada por
Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
. Assim,
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Aqui, usamos que a derivada de
é e a derivada de é
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 6
Vamos somar as segundas derivadas parciais encontradas:
Resposta
A soma das segundas derivadas
resulta em zero, o que mostra que a função satisfaz a equação de Laplace. Portanto, ela é uma solução da equação
.