Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar essas novamente para achar as de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembra que, para derivar uma função em relação a uma variável, consideramos as outras como constantes.
Temos:
Vamos usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma função:
Aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
Primeiro,
:
Derivando em relação a
:
Segundo,
:
Derivando em relação a
:
Terceiro,
:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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