Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar calcular primeiro as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar essas novamente para achar as de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Lembra que, para derivar uma função em relação a uma variável, consideramos as outras como constantes.
Temos:
Vamos usar a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma função:
Aplicamos a regra do quociente:

Passo 4

Agora que temos e , vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
Primeiro, :
Derivando em relação a :
Segundo, :
Derivando em relação a :
Terceiro, :
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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