Determine a derivada parcial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma derivada parcial específica da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a utilização de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a derivada parcial que precisamos encontrar:
. Isso significa que vamos derivar a função
duas vezes em relação a
e uma vez em relação a
, seguindo a ordem indicada.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
. Como
é tratada como uma constante quando derivamos em relação a
, a derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente em relação a
. Mais uma vez, tratamos
como constante:
Passo 5
Por último, vamos derivar essa expressão em relação a
. Aqui, precisamos aplicar a regra do produto, pois temos três fatores que dependem de
:
,
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
, que dá
.
Depois, derivamos em relação a
, que dá
.
Por fim, derivamos em relação a
, que dá
.
Depois, derivamos
Por fim, derivamos
Então, aplicando a regra do produto:
Resposta
A derivada parcial indicada é: