Determine a derivada parcial indicada.
(c) u=e^r theta sen(theta), partial^3 upartial r^2 partial theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar uma derivada parcial específica da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a utilização de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a derivada parcial que precisamos encontrar: . Isso significa que vamos derivar a função duas vezes em relação a e uma vez em relação a , seguindo a ordem indicada.

Passo 3

Vamos começar derivando partial upartial r = theta e^r theta sin(theta) em relação a . Como é tratada como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada de em relação a é . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente em relação a partial^2 upartial r^2 = theta cdot theta e^r theta sin(theta) = theta^2 e^r theta sin(theta) . Mais uma vez, tratamos como constante:

Passo 5

Por último, vamos derivar essa expressão em relação a partial^3 upartial r^2 partial theta = 2theta e^r theta sin(theta) + theta^2 r e^r theta sin(theta) + theta^2 e^r theta cos(theta) . Aqui, precisamos aplicar a regra do produto, pois temos três fatores que dependem de : , e .
Primeiro, derivamos em relação a , que dá .
Depois, derivamos em relação a , que dá .
Por fim, derivamos em relação a , que dá .
Então, aplicando a regra do produto:

Resposta

A derivada parcial indicada é:
partial^3 upartial r^2 partial theta = 2theta e^r theta sin(theta) + theta^2 r e^r theta sin(theta) + theta^2 e^r theta cos(theta)

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