Prove que: Se e , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar aqui é que se duas sequências, e , ambas tendem para menos infinito ( ), então a soma delas, , também vai pra menos infinito. Isso está dentro do estudo de limites de sequências, uma parte importante do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência tender para menos infinito. Quando dizemos que , estamos afirmando que, à medida que aumenta, os valores de ficam cada vez menores, indo além de qualquer número negativo fixo.

Passo 3

O mesmo vale para . Se , então os valores de também diminuem sem limite à medida que cresce.

Passo 4

Agora, queremos ver o que acontece com a soma . Vamos usar a definição de limite para menos infinito: para qualquer número real , existe um número tal que para todo , e .

Passo 5

Somando essas duas desigualdades, temos:
Mas como pode ser qualquer número negativo muito grande, também tende para .

Passo 6

Portanto, não importa quão grande negativo seja, sempre podemos encontrar um ponto na sequência onde é ainda menor que qualquer escolhido, o que confirma que também tende para .

Resposta

Assim, provamos que se e , então .

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Prove que: se, e somente se, .
Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas: .
Mostre que: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .