Prove que: Se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar aqui é que se duas sequências,
e
, ambas tendem para menos infinito (
), então a soma delas,
, também vai pra menos infinito. Isso está dentro do estudo de limites de sequências, uma parte importante do cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência tender para menos infinito. Quando dizemos que
, estamos afirmando que, à medida que
aumenta, os valores de
ficam cada vez menores, indo além de qualquer número negativo fixo.
Passo 3
O mesmo vale para
. Se
, então os valores de
também diminuem sem limite à medida que
cresce.
Passo 4
Agora, queremos ver o que acontece com a soma
. Vamos usar a definição de limite para menos infinito: para qualquer número real
, existe um número
tal que para todo
,
e
.
Passo 5
Somando essas duas desigualdades, temos:
Mas como
pode ser qualquer número negativo muito grande,
também tende para
.
Passo 6
Portanto, não importa quão grande negativo
seja, sempre podemos encontrar um ponto na sequência onde
é ainda menor que qualquer
escolhido, o que confirma que
também tende para
.
Resposta
Assim, provamos que se
e
, então
.
Exercícios relacionados
Prove que:
se, e somente se,
.
Determine se cada sequência abaixo é monótona ou não e se elas são limitadas:
.
Mostre que:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.