Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
a_n = (2 n + sen(n)) / (5 n + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos calcular o limite dela. Vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como lidar com funções trigonométricas nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos no numerador e no denominador à medida que cresce. No numerador, temos e, no denominador, . Sabemos que, para grandes valores de , os termos lineares (como e ) vão dominar sobre os termos constantes ou os termos com funções oscilantes, como o seno.

Passo 3

Agora, vamos separar os termos da fração:
Observando cada parte:
  1. : Para grandes , é aproximadamente , então essa fração tende a .
  2. : A função seno oscila entre -1 e 1, então é limitado, e quando dividido por , que cresce sem limite, essa parte tende a 0.

Passo 4

Agora, juntando os resultados:
Isso mostra que a sequência converge para .

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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x' = (3 9; -1 -3)x, x(0) = (2; 4)
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
a_n = n * sen(1/n)
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
a_n = arctg(ln(n))