Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos calcular o limite dela. Vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como lidar com funções trigonométricas nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos no numerador e no denominador à medida que
cresce. No numerador, temos
e, no denominador,
. Sabemos que, para grandes valores de
, os termos lineares (como
e
) vão dominar sobre os termos constantes ou os termos com funções oscilantes, como o seno.
Passo 3
Agora, vamos separar os termos da fração:
Observando cada parte:
-
: Para grandes , é aproximadamente , então essa fração tende a . -
: A função seno oscila entre -1 e 1, então é limitado, e quando dividido por , que cresce sem limite, essa parte tende a 0.
Passo 4
Agora, juntando os resultados:
Isso mostra que a sequência converge para
.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é
.
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?
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