Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
y[n]=(x[n])^3

Passo 1

Vamos analisar o sistema dado pela equação . O objetivo é determinar se esse sistema é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo e (4) estável. Para isso, precisamos entender cada uma dessas propriedades e aplicá-las ao sistema em questão.

Passo 2

Linearidade:
Um sistema é linear se satisfaz dois princípios importantes: aditividade e homogeneidade.
  • Aditividade significa que a resposta do sistema à soma de duas entradas é a soma das respostas individuais: y[n] = Tx1[n] + x2[n] = Tx1[n] + Tx2[n]
  • Homogeneidade significa que a resposta do sistema a uma entrada escalada é a resposta escalada: y[n] = Ta cdot x[n] = a cdot Tx[n]
Vamos verificar essas propriedades para y[n] = (x1[n] + x2[n])^3 neq (x1[n])^3 + (x2[n])^3 :
  • Aditividade: y[n] = (a cdot x[n])^3 = a^3 cdot (x[n])^3 neq a cdot y[n]
  • Homogeneidade:
Como o sistema não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade, ele não é linear.

Passo 3

Causalidade:
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores da entrada naquele instante ou em instantes passados, ou seja, não depende de futuros valores.
No sistema , a saída em depende apenas de e não de nenhum valor futuro de . Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Invariância no Tempo:
Um sistema é invariante no tempo se seu comportamento não muda ao longo do tempo. Formalmente, se uma entrada deslocada no tempo resulta em uma saída igualmente deslocada, sem alterar a forma da resposta.
Vamos verificar:
  • Suponha que a entrada seja y[n] = (x[n - n0])^3 . y[n - n0] = (x[n - n0])^3
  • A saída deslocada seria:
Como a saída deslocada corresponde exatamente ao deslocamento da entrada, o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Estabilidade:
Um sistema é BIBO estável (Bounded Input, Bounded Output) se toda entrada limitada resulta em uma saída também limitada.
Considerando uma entrada limitada |y[n]| = |(x[n])^3| = |x[n]|^3 <= B^3 , temos:
Como é finito quando é finito, o sistema é estável.

Resposta

O sistema não �� linear, é causal, é invariante no tempo e é estável.

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