Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema
e determinar se ele é:
- Linear
- Causal
- Invariante no tempo
- Estável
Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, causalidade, invariância temporal e estabilidade. Vamos passo a passo entender cada um desses aspectos.
Passo 2
Linearidade
Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades:
- Homogeneidade (ou escalabilidade): Se você escala a entrada, a saída também escala pelo mesmo fator.
- Aditividade: A resposta a uma soma de entradas é igual à soma das respostas a cada entrada individualmente.
No nosso caso, o sistema é
.
Vamos testar a homogeneidade:
Se gera
e
gera
,
então para , a saída seria
.
Se
então para
Agora, para aditividade:
Para , a saída seria
.
Para
Como ambas as propriedades são satisfeitas, o sistema é linear.
Passo 3
Causalidade
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas dos valores atuais e passados da entrada, ou seja, não depende de futuros valores.
No sistema
, a saída em
depende apenas de
, que é o valor atual da entrada. Não há dependência de valores futuros como
ou anteriores como
.
Portanto, o sistema é causal.
Passo 4
Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se suas propriedades não mudam com o deslocamento no tempo. Isso significa que se você deslocar a entrada no tempo, a saída também será deslocada da mesma forma, sem alterações.
Vamos testar:
Se deslocarmos a entrada: , então a saída seria
.
Se deslocarmos a entrada:
Agora, deslocando a saída original:
.
Comparando
com
, vemos que eles não são iguais a menos que
.
Como elas não são iguais para deslocamentos diferentes de zero, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Estabilidade
Um sistema é estável (no sentido de BIBO - Bound-Input, Bound-Output) se uma entrada limitada sempre produz uma saída limitada.
Vamos supor que
para algum
. A saída é
. Então,
.
Como
não é limitado (porque
pode crescer sem limite), a saída pode se tornar infinita mesmo com uma entrada limitada.
Portanto, o sistema não é estável.
Resposta
O sistema
é:
- Linear
- Causal
- Não invariante no tempo
- Não estável
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Calcule a potência do sinal
.
Um sistema é considerado estável se:
A saída do sistema é limitada para qualquer entrada limitada.
A saída do sistema é limitada para qualquer entrada limitada.
Um sistema é classificado como linear se:
Ele satisfaz a propriedade da homogeneidade e aditividade.
Ele satisfaz a propriedade da homogeneidade e aditividade.