Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema e determinar se ele é:
  1. Linear
  2. Causal
  3. Invariante no tempo
  4. Estável
Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, causalidade, invariância temporal e estabilidade. Vamos passo a passo entender cada um desses aspectos.

Passo 2

Linearidade
Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades:
  • Homogeneidade (ou escalabilidade): Se você escala a entrada, a saída também escala pelo mesmo fator.
  • Aditividade: A resposta a uma soma de entradas é igual à soma das respostas a cada entrada individualmente.
No nosso caso, o sistema é .
Vamos testar a homogeneidade:
Se gera e gera ,
então para , a saída seria .
Agora, para aditividade:
Para , a saída seria .
Como ambas as propriedades são satisfeitas, o sistema é linear.

Passo 3

Causalidade
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais e passados da entrada, ou seja, não depende de futuros valores.
No sistema , a saída em depende apenas de , que é o valor atual da entrada. Não há dependência de valores futuros como ou anteriores como .
Portanto, o sistema é causal.

Passo 4

Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se suas propriedades não mudam com o deslocamento no tempo. Isso significa que se você deslocar a entrada no tempo, a saída também será deslocada da mesma forma, sem alterações.
Vamos testar:
Se deslocarmos a entrada: , então a saída seria .
Agora, deslocando a saída original: .
Comparando com , vemos que eles não são iguais a menos que .
Como elas não são iguais para deslocamentos diferentes de zero, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Estabilidade
Um sistema é estável (no sentido de BIBO - Bound-Input, Bound-Output) se uma entrada limitada sempre produz uma saída limitada.
Vamos supor que para algum . A saída é . Então, .
Como não é limitado (porque pode crescer sem limite), a saída pode se tornar infinita mesmo com uma entrada limitada.
Portanto, o sistema não é estável.

Resposta

O sistema é:
  1. Linear
  2. Causal
  3. Não invariante no tempo
  4. Não estável

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Determine se cada um dos sistemas abaixo é (1) linear, (2) causal, (3) invariante no tempo, (4) estável:
Calcule a potência do sinal .
Um sistema é considerado estável se:
A saída do sistema é limitada para qualquer entrada limitada.
Um sistema é classificado como linear se:
Ele satisfaz a propriedade da homogeneidade e aditividade.